训练11 函数的表示方法
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1.设f(x)满足f(-x)+2f(x)=x+3,则f(1)等于( )
A.2 B.4 C. D.
答案：A
解析： f(1)=2.
2.函数y=x(x-2)的定义域为［a,b］,值域为［-1,3］,则点(a,b)的轨迹是图中的( )
A.点H(1,3)和F(-1,1) B.线段EF、GH
C.线段EH、FG D.线段EF、EH
答案：D
解析：y=x(x-2)的图象如图所示,依题意a、b应满足 或
3.已知f( x-1)=2x+3,且f(m)=6,则m等于( )
A.- B. C. D.-
答案：A
解析：∵f( x-1)=2x+3=4( x-1)+7 f(x)=4x+7,
∴f(m)=4m+7=6,m=- .
4.已知函数f(x)的定义域是［-1,2］,则函数y=f(x)+f(-x)的定义域是( )
A.［-1,1］ B.［-2,2］ C.［-1,2］ D.［-2,1］
答案：A
解析：∵f(x)定义域满足-1≤x≤2,
∴y=f(x)+f(-x)需满足
∴-1≤x≤1.
∴函数y=f(x)+f(-x)的定义域是［-1,1］.
5.函数f(x)对任意的自然数x,满足f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,则f(5)=_________________.
答案：6
解析：由f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,可依次算出f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=6,….
6.函数y= 的最大值是_________________.
答案：4
解析：当x≤0时,y≤3;当0
7.作出下列各函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z; (2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;
(3)y=|x-1|; (4)y=
解：(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上,∵x∈Z,从而y∈Z,这些点称为整点,如图(1).
(2)∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段弧,如图(2).
(3)所给函数可写成分段函数
y= 是端点为(1,0)的两条射线(称为“羊角”),如图(3).
(4)这个函数的图象由两部分组成:
当0
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8.一批材料可以建成200 m长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场,中间隔成3个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形最大总面积为( )
A.100 m2 B.10 000 m2 C.2 500 m2 D.6 250 m2
答案：C
解析：由已知得4a+3b=200,3b=200-4a,
∴S=3ab=a(200-4a)=-4(a-25)2+2 500,
故当a=25,b= 时,围成矩形的最大面积为2 500 m2.
9.函数y=1- 的图象(如图)是( )
答案：B
解析：(特殊值法)令x=0,则y=2,观察图象,排除A、D.
再令y=0,则x=2,观察图象,排除C.
10.设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.若当x≤1时,y=x2,则当x>1时,y=_____________.
答案：x2-4x+4
解析：与y=f(x)图象关于直线x=1对称的函数表达式为y=f(2-x).故当x>1时,y=f(2-x)=(2-x)2=x2-4x+4.
11.对一切实数x、y,函数f(x)满足f(x•y)=f(x)•f(y)且f(0)≠0,则f(2 006)的值为____________.
答案：1
解析：令x=y=0,则f(0)=f2(0) f(0)=1〔∵f(0)≠0〕,再令x=2 006,y=0,则f(0)=f(2 006).f(0) f(2 006)=1.
12.已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且φ( )=16,φ(1)=8,
(1)求φ(x)的解析式,并指出定义域;
(2)求φ(x)的值域.
解：(1)设f(x)=ax,g(x)= ,a、b为比例常数,
则φ(x)=f(x)+g(x)=ax+ .
由
∴φ(x)=3x+ ,
其定义域为(-∞,0)∪(0,-∞).
(2)由y=3x+ ,得3x2-yx+5=0(x≠0),
∵x∈R且x≠0,∴Δ=y2-60≥0.
∴y≥2 或y≤-2 .∴φ(x)的值域为(-∞,-2 )∪［2 ,+∞).
13.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 ,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上,设用x单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).
(1)试规定f(0)的值,并解释其实际意义;
(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质;
(3)设f(x)= .
现有a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
解：(1)f(0)=1表示没有用水洗时,蔬菜上的农药量将保持原样.
(2)函数f(x)应满足的条件和具有的性质是:f(0)=1,f(1)= ,在［0,+∞)上f(x)单调递减,且0
清洗两次后,残留的农药量为f2=［ .
∴f1-f2= .
于是,当a>2 时,f1>f2.
当a=2 时,f1=f2.
当0
14.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P动运的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是下图中的( )
答案：D
解析：f(x)= 故选D.
15.从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水填满,再倒出1升混合溶液后又用水填满,这样继续进行,如果倒第k(k≥1)次时共倒出纯酒精x升,倒第k+1次时共倒出纯酒精f(x)升,则f(x)的函数表达式为( )
A.f(x)= x B.f(x)= x+1
C.f(x)= D.f(x)= +1
答案：B
解析：f(x)=x+ ×1=1+ x.
16.如图,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式.
解：设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x≤1),由点(1,1)、(0,2)在射线上得 解得k=-1,b=2.
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,右侧射线的解析式为y=x-2(x≥3).
设中间抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0),
由点(1,1)在抛物线上可得1=a+2,解得a=-1,则抛物线对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3).
综上,可知函数的解析式可写为
y=