高一数学必修四模块综合检测题（带答案2013北师大版）

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(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013•江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝(　　)
A．－23　　　　　　　　　B．－13
C.13 D.23
【解析】　cos α＝1－2sin2α2＝1－2×332＝1－23＝13.
【答案】　C
2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a•b的值为(　　)
A．1B．2
C．3D．4
【解析】　a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，
∴k＋2－3k＝0，得k＝1.
∴a•b＝(1,1)•(2,2)＝4.
【答案】　D
3．sin(x＋27°)cos(18°－x)＋sin(18°－x)cos(x＋27°)＝(　　)
A.12B．－12
C．－22 D.22
【解析】　原式＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝22.
【答案】　D
4．下列各向量中，与a＝(3,2)垂直的是(　　)
A．(3，－2)B．(2,3)
C．(－4,6)D．(－3,2)
【解析】　因为(3,2)•(－4,6)＝3×(－4)＋2×6＝0，
所以选C.
【答案】　C
5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－π4 B.π6
C.π4 D.3π4
【解析】　2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，
(2a＋b)•(a－b)＝9，
|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.
设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，
∴α＝π4.
【答案】　C
6．若α是第四象限的角，则π－α是(　　)
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．第三象限的角D．第四象限的角
【解析】　∵2kπ＋3π2<α<2kπ＋2π(k∈Z)，
∴－2kπ－3π2>－α>－2kπ－2π(k∈Z)．
∴－2kπ－π2>π－α>－2kπ－π(k∈Z)．故应选C.
【答案】　C
7．在△ABC中，若sin Acos B<0，则此三角形必是(　　)
A．锐角三角形B．任意三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【解析】　∵sin Acos B<0，A、B为△ABC内角，
∴sin A>0，cos B<0.
因此π2【答案】　D
8．若实数x满足log2x＝3＋2cos θ，则|x－2|＋|x－33|等于(　　)
A．35－2xB．31
C．2x－35D．2x－35或35－2x
【解析】　∵－2≤2cos θ≤2，
∴1≤3＋2cos θ≤5，
即1≤log2x≤5，
∴2≤x≤32
∴|x－2|＋|x－33|＝x－2＋33－x＝31.
【答案】　B
9．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝(　　)
A．2B．3
C．4D．5
【解析】　∵MA→＋MB→＋MC→＝0.
∴M为△ABC的重心．

连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点．
∴AM→＝23AD→.
又AD→＝12(AB→＋AC→)，
∴AM→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，比较得m＝3.
【答案】　B
10．(2013•山东高考)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(　　)

【解析】　当x＝π2时，y＝1＞0，排除C.
当x＝－π2时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcos x＋sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B.
当x＝π时，y＝－π＜0，排除A.故选D.
【答案】　D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．若tan α＝3，则sin 2αcos2α的值等于________．
【解析】　sin 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝2tan α＝2×3＝6.
【答案】　6
12．(2012•江西高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
【解析】　设单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1，若m⊥b，则m•b＝0，即2x－y＝0，解得x2＝15，所以|x|＝55，|x＋2y|＝5|x|＝5.
【答案】　5
13．要得到函数y＝3cos(2x－π2)的图像，可以将函数y＝3sin(2x－π4)的图像沿x轴向____平移____个单位．
【解析】　y＝3sin(2x－π4)??→向左平移π8y＝3sin 2x＝3cos(2x－π2)．
【答案】　左　π8
14．已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，若A、B、C三点共线，则实数k＝________.
【解析】　AB→＝(4－k，－7)，BC→＝(6，k－5)，
∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
即k＝－2或11.
【答案】　－2或11

图1
15．如右图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP→＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)．若P点的斜坐标为(3，－4)，则点P到原点O的距离|PO|＝________.
【解析】　由点的斜坐标的定义可知OP→＝3e1－4e2，
∵OP→2＝9e21－24e1•e2＋16e22
＝9|e1|2－24|e1||e2|×cos 60°＋16|e2|2
＝9－24×12＋16＝13.
∴|OP→|2＝13，即|OP→|＝13.
故点P到原点O的距离|PO|＝13.
【答案】　13
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，且(a＋2b)•(a－3b)＝0，求a•b；
(2)已知a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.如果a＋kb与5a＋b互相垂直，求实数k的值．
【解】　(1)∵(a＋2b)•(a－3b)
＝a2－a•b－6b2
＝|a|2－a•b－6|b|2
＝16－a•b－54＝0，
∴a•b＝－38.
(2)由题意a•b＝|a|•|b|•cos 120°
＝4×2×(－12)＝－4.
∵(a＋kb)⊥(5a＋b)，
∴(a＋kb)•(5a＋b)＝0，
即5a2＋(5k＋1)a•b＋kb2＝0，
∴5|a|2＋(5k＋1)•(－4)＋k•|b|2＝0.
∴5×16－(20k＋4)＋4k＝0，∴k＝194.
17．(本小题满分12分)已知平面直角坐标系内的Rt△ABC，∠A＝90°，A(－2，－1)，C(2,5)，向量BC→上的单位向量a＝(513，－1213)，P在CB上，且CP→＝λCB→.
(1)求点B坐标；
(2)当AP分别为三角形的中线、高线时，求λ的值及对应中点、垂足的坐标．
【解】　(1)设B(x，y)，CB→＝(x－2，y－5)．
又CB→＝λa，
∴(x－2，y－5)＝λ(513，－1213)．故x＝2＋513λ，y＝5－1213λ，
∴B(2＋513λ，5－1213λ)．
AB→＝(4＋513λ，6－1213λ)，AC→＝(4,6)．
由AB→•AC→＝(4＋513λ，6－1213λ)•(4,6)＝0，得λ＝13.
故点B(7，－7)．
(2)若P是BC的中点，则CP→＝12CB→，
∴λ＝12，此时，点P的坐标为(2＋72，5－72)，即(92，－1)．
若AP是BC边的高，则AP→⊥CB→.
∴(AC→＋CP→)•CB→＝0，
即AC→•CB→＋λCB→•CB→＝0.
又CB→＝(5，－12)，
代入上式有(4,6)•(5，－12)＋λ(5，－12)•(5，－12)＝0.
解之，得λ＝413.
设此时点P(m，n)．
∵CP→＝λCB→，即CP→＝413CB→，
∴(m－2，n－5)＝413(5，－12)．
∴m－2＝413×5，n－5＝413×－12，
即m＝4613，n＝1713.
∴P(4613，1713)．

图2
18．(本小题满分12分)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
【解】　在直角三角形OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α，
在直角三角形OAD中，DAOA＝tan 60°＝3，
所以OA＝33DA＝33sin α，
AB＝OB－OA＝cos α－33sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB•BC＝(cos α－33sin α)sin α
＝sin αcos α－33sin2α
＝12sin 2α－36(1－cos 2α)
＝12sin 2α＋36cos 2α－36
＝13(32sin 2α＋12cos 2α)－36
＝13sin(2α＋π6)－36.
因为0<α<π3，
所以当2α＋π6＝π2，
即α＝π6时，S最大＝13－36＝36.
因此，当α＝π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36.
19．(本小题满分13分)(2012•湖南高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示．

图3
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f(x－π12)－f(x＋π12)的单调递增区间．
【解】　(1)由题设图像知，周期T＝2(11π12－5π12)＝π，
所以ω＝2πT＝2.
因为点(5π12，0)在函数图像上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0，
即sin(5π6＋φ)＝0.
又因为0<φ<π2，
所以5π6<5π6＋φ<4π3.
从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.
又点(0,1)在函数图像上，所以Asin π6＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．
(2)g(x)＝2sin[2(x－π12)＋π6]－2sin[2(x＋π12)＋π6]
＝2sin 2x－2sin(2x＋π3)＝2sin 2x－2(12sin 2x＋32cos 2x)＝sin 2x－3cos 2x＝2sin(2x－π3)．
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.
20．(本小题满分12分)(2013•湖南高考)已知函数f(x)＝cos x•cosx－π3.
(1)求f2π3的值；
(2)求使f(x)<14成立的x的取值集合．
【解】　(1)f2π3＝cos2π3•cosπ3
＝－cosπ3•cosπ3
＝－122＝－14.
(2)f(x)＝cos xcosx－π3
＝cos x•12cos x＋32sin x
＝12cos2 x＋32sin xcos x
＝14(1＋cos 2x)＋34sin 2x
＝12cos2x－π3＋14.
f(x)<14等价于12cos2x－π3＋14<14，
即cos2x－π3<0.
于是2kπ＋π2<2x－π3<2kπ＋3π2，k∈Z.解得kπ＋5π12故使f(x)<14成立的x的取值集合为
{x|kπ＋5π1221．(本小题满分13分)(2012•北京高考)已知函数f(x)＝sin x－cos xsin 2xsin x.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【解】　(1)由sin x≠0得x≠kx(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝sin x－cos xsin 2xsin x
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝2sin(2x－π4)－1，
所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)．
由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－π8≤x≤kx＋3π8，x≠kx(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－π8，kπ)和(kπ，kπ＋3π8](k∈Z)．