必修3第三章概率期末综合训练（含解析新人教A版）
(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在某学校2013年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C.①在某学校2013年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张 ，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．必然事件
解析：选B.根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
3．下列试验属于古典概型的有( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.
4．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.2，则该日晴天的概率为( )
A．0.65 B．0.55
C．0.35 D．0.75
解析：选C.P＝1－0.45－0.2＝0.35.故选C.
5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是( )
A.1225 B.3899
C.1300 D.1450
解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.
6．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A.16 B.13
C.23 D.45
解析：选C.设|AC|＝x cm,0＜x＜12，则|CB|＝(12－x) cm，要 使矩形面积大于20 cm2，只要x(12－x)＞20，则x2－12x＋20＜0,2＜x＜10，所以所求概率为P＝10－212＝23，故选C.
7．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为( )
A.16 B.19
C.112 D.118
解析：选C.根据题意，两人各掷骰子一次，每人都有六种可能性，则(x，y)的情况有6×6＝36(种)，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4 ，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3个，因此满足条件的概率为336＝112.
8．从标有1,2,3,4的卡片中先后抽出两张卡片，则号码4“在第一次被抽到的概率”、“在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是( )
A.14，13，12 B.14，13，14
C.14，14，12 D.14，12，12
解析：选C.第一次抽，每张卡片被抽到的概率相同，
∴号码4在第一次被抽到的概率为14；号码4在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为3×14×3＝14；号码4在整个抽样过程中被抽到的概率为14＋14＝12.
9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为( )
A．1－π8 B．1－π4
C．1－π2 D．1－3π4
解析：选B.若使函数有零点，必须Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2.
在坐标轴上将a，b的取值范围标出，如图所示．
当a，b满足函数有零点时，以(a，b)为坐标的点位于正方形内、圆外的部分(如阴影部分所示)，于是所求的概率为1－π34π2＝1－π4.
10．在箱子里装有十张纸条，分别写有1到10的十个整数．从箱子中任取一张纸条，记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张纸条，记下它的读数 y，则x＋y是10的倍数的概率为( )
A.12 B.14
C.15 D.110
解析：选D.先后两次取纸条时，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共100个．∵x＋y是10的倍数，∴这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10个，故x＋y是10的 倍数的概率是P＝10100＝110.故选D.
二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)
11．A，B，C为某随机试验中的三个事件，它们的对立事件分别为A－，B－，C－，则图中阴影部分表示的事件可以表示为________．
解析：由题图可知此事件为A∩B－∩C－.
答案：A∩B－∩C－
12．从一副混合后的扑克牌( 52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得为红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)＝________.(结果用最简分数表示)
解析：考查互斥事件概率公式P(A∪B)＝152＋1352＝726.
答案：726
13．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________．(结果用分数表示)
解析：∵B、C、D三点共线，A、C、E、F四点共线，∴从六个点中任取三点，能构成三角形的取法共有15种 ，总取法有20种，
∵能构成三角形的概率是1520＝34.
答案：34
14．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝π3，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为________．
解析：设圆O的半径为1，圆C的半径为r，如图所示，∠COB＝π6，
∴OC＝2r，∴2r＋r＝1，∴r＝13，
∴S圆C＝π9.
又S扇形OAB＝12×π3×1＝π6，
∴所求概率P＝π9π6＝23.
答案：23
15．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y＝x22与两直线x＝2及y＝ 0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND；②做变换，令x＝2a，y＝2b；③产生N个点(x，y)，并统计满足条件y＜x22的点(x，y)的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N＝1 000时， N1＝332，则据此可估计S的值为________．
解析：根据题意：满足条件y＜x22的点(x，y)的概率是3321 000，矩形的面积为4，则有S4＝3321 000，∴S＝1.328.
答案：1.328
三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．随机地排列数字1,5,6得到一个三位数，计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
解：1,5,6三个数字可以排成156,165,516,561,615,651，共6个不同的三位数．
(1)大于400的三位数的个数为4，∴P＝46＝23.
(2)三位数为偶数的有156,516，共2个，∴相应的概率为P＝26＝13.
17．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
解：(1) 点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，
故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为49.
(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为25π.
18．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.求四棱锥MABCD的体积小于16a3的概率．
解：设点M到平面ABCD的距离为h.由题意，
得13a2h＜16a3，∴h＜a2.
故四棱锥MABCD的体积小于16a3的概率为12.
19．已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0,2]，y∈[－1,1]}
(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；
(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．
解：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0,2]，即x＝0,1,2；y∈[－1,1]，即y＝－1,0,1.
则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝89.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为89.
(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，
∵x∈[0,2]，y∈[－1,1]则
基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
∴P(B)＝S阴影S四边形ABCD＝S四边形ABCD－12×1×1S四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为78.
20．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X12345
fa0.20.45bc
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3， y 1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，
所以c＝220＝0.1，
从而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能情况为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}共10个．
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系 数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个．
又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.