◎试卷使用说明
1、此试卷完全按照2012年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。
2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。
3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。
4、此试卷不含理科加试内容。
江苏省2012届高三数学综合检测卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1． 复数 在复平面上对应的点在第 象限．
2． 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ．
3． 已知集合 ，集合 ，若命题
“ ”是命题“ ”的充分不必要条件，则实
数 的取值范围是 ．
4． 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC= ，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为 ．
（第4题）．
5． 集合 若 则 ．
6． 阅读如图所示的程序框，若输入的 是100，则输出的变量 的值是 ．
7． 向量 ， = ．
8． 方程 有 个不同的实数根．
9． 设等差数列 的前 项和为 ,若 ≤ ≤ ， ≤ ≤ ，则 的取值范围是 ．
10．过双曲线 的左焦点 ，作圆： 的
切线，切点为 ，直线 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的
离心率为 ．
11．若函数 在定义域内是增函数，则实数 的取值范围是 ．
12．如果圆 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数 的取值范围
是 ．
13．已知实数 满足 ，则 的最大值为 ．
14．当 为正整数时，函数 表示 的最大奇因数,如 ,
设 ,则 ．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 .
（1）求 ；（2）当 ，且 时，求 .
16．（本题满分14分）
如图, 是边长为 的正方形， 平面 ， ， ，
与平面 所成角为 .
(1)求证： 平面 ；
（2）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的
位置，使得 平面 ，并证明你的结论.
17．（本题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l： ．
⑴ 求椭圆的标准方程；
⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．
18．（本题满分16分）
如图，直角三角形ABC中，∠B＝ ，AB＝1，BC＝ ．点M,N分别在边AB和AC
上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△ MN，使顶点 落
在边BC上( 点和B点不重合).设∠AMN＝ ．
(1) 用 表示线段 的长度，并写出 的取值范围；
(2) 求线段 长度的最小值．
19．（本题满分16分）
已知 ,函数 .
(1) 如果实数 满足 ,函数 是否具有奇偶性？如果有,求出相应的
值,如果没有，说明为什么?
(2) 如果 判断函数 的单调性；
(3) 如果 ， ，且 ，求函数 的对称轴或对称中心.
20．（本题满分16分）
已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．
（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求 满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设 ， ，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式 恒成立．
1. 四 2. 6 3. 4. 5. {2,3,4} 6. 5049 7. 8. 2 9.
10. 11. 12. 13. 4 14.
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 .
（1）求 ；（2）当 ，且 时，求 .
解：（1）由已知可得 .所以 . ……………… 2分
因为在 中， ，所以 . ………………………………4分
（2）因为 ，所以 . ………………………………6分
因为 是锐角三角形，所以 ， . ………………8分
所以 . 11分
由正弦定理可得： ，所以 . …………………………………………14分
说明:用余弦定理也同样给分.
16．（本题满分14分）
如图, 是边长为 的正方形， 平面 ， ， .
(1)求证： 平面 ；
（2）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，
使得 平面 ，并证明你的结论.
16.(1)证明：因为 平面 ，
所以 . ……………………2分
因为 是正方形，
所以 ，因为 ………………4分
从而 平面 . ……………………6分[
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM＝BD时，AM∥平面BEF． …………7分
取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，
因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，
故四边形AMNF是平行四边形． ……………………………………10分
所以AM∥FN，
因为AM 平面BEF，FN 平面BEF， …………………………………………12分
所以AM∥平面BEF． …………………………………………14分
17．（本题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l： ．
⑴ 求椭圆的标准方程；
⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．
解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l： ，
∴不妨设椭圆C的方程为 ．（2分）∴ ，（ 4分）即 ．（5分）
∴椭圆C的方程为 ．（6分）
⑵ F（1，0），右准线为l： ， 设 ，
则直线FN的斜率为 ，直线ON的斜率为 ，（8分）
∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为 ，（9分）
∴直线OM的方程为： ，点M的坐标为 ．（11分）
∴直线MN的斜率为 ．（12分）
∵MN⊥ON，∴ ， ∴ ，
∴ ，即 ．（13分）∴ 为定值．（14分）
说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P，准线l与x轴交于Q，则有 ，又 ，所以 为定值．
18．（本题满分16分）
如图，直角三角形ABC中，∠B＝ ，AB＝1，BC＝ ．点M,N分别在边AB和AC
上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△ MN，使顶点 落在边BC
上( 点和B点不重合).设∠AMN＝ ．
(1) 用 表示线段 的长度，并写出 的取值范围；(2) 求线段 长度的最小值．
解：（1）设 ，则 ．（2分）
在Rt△M B 中， ， （4分）
∴ ． （5分）
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合， 点和B点不重合，∴ ．（7分）
（2）在△AMN中，∠ANM＝ ,（8分）
,（9分）
＝ ．（10分）
令 ＝
＝ ．（13分）
∵ ， ∴ ． （14分）
当且仅当 ， 时， 有最大值 ，（15分）
∴ 时， 有最小值 ．（16分）
19．（本题满分16分）
已知 ,函数 .
(1) 如果实数 满足 ,函数 是否具有奇偶性？如果有，求出相应的
值；如果没有，说明为什么?
(2) 如果 判断函数 的单调性；
(3) 如果 ， ，且 ，求函数 的对称轴或对称中心.
解：（1）如果 为偶函数，则 恒成立，（1分）
即： （2分）
由 不恒成立，得 （3分）
如果 为奇函数，则 恒成立，（4分）
即： （5分）
由 恒成立，得 （6分）
（2） ， ∴ 当 时,显然 在R上为增函数；（8 分）
当 时， ，
由 得 得 得 .（9分）
∴当 时, , 为减函数; （10分）
当 时, , 为增函数. （11分）
(3) 当 时，
如果 ，（13分）
则 ∴函数 有对称中心 （14分）
如果 （15分）
则 ∴函数 有对称轴 .（16分）
20．（本题满分16分）
已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．
（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求 满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设 ， ，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式 恒成立．
解：（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r， ． （1分）
n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，① 2S n－1＝an－1an＋r，②
①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2． （ 3分）
则a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．
a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差为2的等差数列， a2n＝a2＋2(n－1)．
要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即 ．r＝c－c2． （ 4分）
∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．
∵当c＝－2， ，不合题意，舍去.
∴当且仅当 时，数列 为等差数列 （5分）
（2） ＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝ －2．
＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－( )． （8分）
∴ （9分）
． （10分）
＝ ．（11分）
∵r＞c＞4，∴ ＞4，∴ ＞2．∴0＜ ＜1． （13分）
且 ＞－1． （14分）
又∵r＞c＞4，∴ ，则0＜ ． ．
∴ ＜1． ．∴ ＜1．（15分）
∴对于一切n∈N*，不等式 恒成立．（16分）