2015高考数学空间几何体的表面积和体积一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
几何体的表面积1、6、7、10、12、13、14、15
几何体的体积1、2、3、4、5、8、9、11、13、15、16
与球有关的问题5、12、14
折叠与展开问题6、11、16
一、选择题
1.(2013年高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( B )
(A)4 ,8(B)4 ,
(C)4( +1), (D)8,8
解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的高为2,
所以侧面三角形底边上的高为 ,
该四棱锥的侧面积为S侧= ×2× ×4=4 ,
体积为V= ×4×2= ,
故选B.
2.(2013陕西宝鸡市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于( A )
(A)1(B) (C) (D)
解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为 ,高为1,所以该三棱柱的体积V= × × ×1=1.故选A.
3.(2013西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为( B )
(A) π(B) π(C) π(D) π
解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,
所以这个容器 的容积为
V=π×12×2+ ×π×12×1= ,
故选B.
4.(2013兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( C )
(A) (B)8-
(C)8- (D)8-2π
解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,
所以该几何体的体积为V=23- ×π×12×2=8- ,
故选C.
5.(2013山东兖州摸底 )某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )
(A)72 π(B)48π(C)30π(D)24π
解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得组合体的体积为30π,
故选C.
6.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起得到三棱锥D ABC,则三棱锥外 接球的表面积等于( B )
(A)8π(B)16π(C)48 π(D)50π
解析:设矩形长为x,
则宽为 (x>0),
周长P=2 x+ ≥2×2 =8 .
当且仅当x= ,
即x=2 时,周长取到最小值.
此时正方形ABCD沿AC折起,取AC的中点为O,则
OA=OB=OC=OD,
三棱锥D ABC的四个顶点都在以O为球心,以2为半径的球上,此球的表面积为4π×22=16π.
7.(2013大连市一模)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92 m2,则h等于( C )
(A)2(B)3(C)4(D)5
解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是
2× ×4+(2+4+5+ )h=92,
即16h=64,
解得h=4.
故选C.
二、填空题
8.
(2013年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1 ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1 ABC的体积为V2,则V1∶V2= .
解析: =
= • •
= × × ×
= .
答案:1∶24
9.(2013天津市一中月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
解析:由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分 ,
并且可知该几何体是一个高为6,底面半径为1的圆柱体的一半,
则知所求几何体体积为 ×π×12×6=3π.
答案:3π
10.(2013山西师大附中模拟)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ,一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为 .
解析:由三视图知,该几何体是由两个完全相同的正四棱锥组合在一起的.
因为正视图、侧视图都是面积为 ,一个内角为60°的菱形,
所以菱形的边长 为1 ,即正四棱锥的底面边长为1,侧面的斜高为1.因此,这个几何体的表面积为S= ×1×1×8=4.
答案:4
11.(2013湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是 .
解析:易知该几何体 是正四棱锥.
设为正四棱锥P ABCD,连接BD,
由PD=PB=1,BD= ,知PD⊥PB.
设底 面中心为O,
则四棱锥高PO= ,
则其体积是
V= Sh= ×12× = .
答案:
12.(2013潍坊市一模)已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为 .
解析:圆柱的底面直径与母线长均为2,
所以球的直径= = =2 ,
即球半径为 ,
所以球的表面积为4π×( )2=8π.
答案:8π
三、解答题
13.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.
解:(1)这个几何体的直观图如图所 示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q A1D1P的组合体.
由PA1=PD1= ,
A1D1=AD=2,
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积
S=5×22+2×2× +2× ×( )2
=22+4 (cm2),
体积V=23+ ×( )2×2=10(cm3).
14.(2013山东潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,求该球的表面积.
解:如图所示该几何体的直观图,是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥C1 ABCD.
其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,
该几何体的所有顶点在同一球面上,
则球的直径为AC1=4 =2R,
所以球的半径为R=2 ,
所以球的表面积是4πR2=4π×(2 )2=48π.
15.
如图所示,在边长为5+ 的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为 圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.
解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,
由已知条件
解得r= ,l=4 ,S=πrl+πr2=10π,
h= = ,V= πr2h= .
16.(2013安徽黄山 三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A'在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).
(1)求证:EF⊥A'C;
(2)求三棱锥F A'BC的体积.
(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,
∴EF⊥AC,
在四棱锥A' BCEF中,EF⊥A'E,EF⊥EC,
又EC∩A'E=E,∴EF⊥平面A'EC,
又A'C⊂平面A'EC,∴EF⊥A'C.
(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,
∴S△FBC= BC•EC=4,
∵A'O⊥平面BCEF,∴A'O⊥EC,
又∵O为EC的中点,∴△A'EC为正三角形,边长为2,
∴A'O= ,
∴ = = S△FBC•A'O
= ×4× = .