2014南昌二中高考数学第十一次模拟试卷（带答案文科）
一、选择题（题型注释）
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线 的离心率为 ，则m=
A． B．3 C． D．2
4．设等差数列{ }的前n项和为Sn，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=
A．27 B．39C．45 D．63
5．某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若直线 与圆 相切，且 为锐角，则这条直线的斜率是( )
A． B． C． D．
7．若下面框图所给的程序运行结果为 ,那么判断框中应填入的关于 的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 中， 边的中点，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ，若 ， ，其中 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
9．设 满足不等式组 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10．已知 为 的导函数，则 的图象大致是（ ）
二、填空题（题型注释）
11．若 ，则 .
12．直线 与椭圆 相交于 、 两点，过点 作 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ．
13．在已知平面区域 ，直线 和曲线 有两个不同的交点，直线 与曲线 围成的平面区域为 ，向区域 内随机投一点 ，点 落在区域 内的概率为 ，若 ，则实数 的取值范围是 .
14．函数 ，若不等式 的解集为 ，则实数 的值为 .
15．空间中任意放置的棱长为2的正四面体 .下列命题正确的是_________.（写出所有正确的命题的编号）
①正四面体 的主视图面积可能是 ；
②正四面体 的主视图面积可能是 ；
③正四面体 的主视图面积可能是 ；
⑤正四面体 的主视图面积可能是
⑥正四面体 的主视图面积可能是 .
三、解答题（题型注释）
16．已知函数 ．
（1）设 ，且 ，求 的值；
（2）在△ABC中，AB=1， ，且△ABC的面积为 ，求sinA+sinB的值．
17．已知数列 的前n项和为 满足： ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）令 ，对任意 ，是否存在正整数m，使 都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．
（1）求证： AC⊥DE；
（2）求四棱锥P－ABCD的体积．
19．一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为 ．
(1)记 ，求 的概率；
(2)若方程 至少有一根 ，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
20．已知椭圆 的左焦点为 ,左、右顶点分别为 ,过点 且倾斜角为 的直线 交椭圆于 两点,椭圆 的离心率为 , ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 是椭圆上不同两点， 轴，圆 过点 ，且椭圆上任意一点都不在圆 内，则称圆 为该椭圆的内切圆．问椭圆 是否存在过点 的内切圆？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知函数 ， ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知点 和函数 图象上动点 ，对任意 ，直线 倾斜角都是钝角，求 的取值范围．
南昌二中2014届高三第十一次模拟考试试题
数学(文)参考答案
1．A 2．（B） 3．B 4．B 5．C 6．A 7．（D）
8．A
【解析】
试题分析：由已知得： ，因为D、E、F三点共线，所以 ，由重要不等式得： .
考点：向量的运算.
9．B
10．A
【解析】因为， ，所以， 为奇函数，其图象关于原点对称．可排除 ；由于 时， ，
即 的图象位于 轴下方，故选 ．
考点：函数的奇偶性、单调性，导数的计算．
11．
12．
13．
14．3
当光线平行于底面 ，沿 方向时，主视图为图中△ ，则其面积为 ，①正确；
将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为 ，并且此时主视图面积最大，故③正确，④⑤不正确.
考点：1.几何体的三视图；2.几何图形的面积.
16．（1） ，（2）
【解析】
试题分析：（1）研究三角函数性质，首先将三角函数化为基本三角函数形式，即： = = ．再由 得 于是 ，因为 ，所以 ．（2）解三角形，基本方法利用正余弦定理进行边角转化. 因为△ABC的面积为 ，所以 ，于是 .因为 ，由（1）知 ．由余弦定理得 ，所以 ．可得 或 由正弦定理得 ,所以 ．
【解】（1） = = ．
由 ，得 ，
于是 ，因为 ，所以 ．
（2）因为 ，由（1）知 ．
因为△ABC的面积为 ，所以 ，于是 . ①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.
由余弦定理得 ，所以 ． ②
由①②可得 或 于是 ．
由正弦定理得 ，
所以 ．
考点：三角函数性质，正余弦定理
17．（1）详见解析；（2）m的值为1，2，3．
【解析】试题分析：（1）首先由题设找到 与 间的关系，然后证明 是一个常数.（2）首先求得
，由此得 ，用裂项法可求得和 .由 对任意 都成立，得 ，即 对任意 都成立，所以 小于等于 的最小值.
（1）当 时， ，解得 ， 1分
当 时，由 得 ， 2分
两式相减，得 ，即 （ ）， 3分
则 ，故数列 是以 为首项，公比为3的等比数列． 4分
（2）由（1）知 ，
， 6分
所以 ， 7分
则 ， 8分
由 对任意 都成立，得 ， 10分
即 对任意 都成立，又 ，
所以m的值为1，2，3． .12分
考点：1、等比数列；2、裂项法求和；3、不等关系.
18．（1）详见解析，（2） .
【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质与判定定理进行转化. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC．因而AC⊥平面PDB，从而AC⊥DE．（2）设AC与BD相交于点F．连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，所以AC⊥EF．所以S△ACE＝ AC•EF，因此△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．由△PDB∽△FEB，解得PD＝ ，因为PD⊥平面ABCD，所以VP―ABCD＝ S□ABCD•PD＝ ×24× ＝ ．
（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．
E为PB上任意一点，DE 平面PBD，所以AC⊥DE．
（2）连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF 平面PBD，所以AC⊥EF． S△ACE＝ AC•EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．
S△ACE＝3， ×6×EF＝3，解得EF＝1．
由△PDB∽△FEB，得 ．由于EF＝1，FB＝4， ，
所以PB＝4PD，即 ．解得PD＝
VP―ABCD＝ S□ABCD•PD＝ ×24× ＝ ．
考点：线面垂直性质与判定定理，四棱锥体积
19．(1) ；(2) ．
【解析】
试题分析：（1）由于要将均匀的面上分别涂有1、2、3、4四个数字的正四面体随机投掷两次，故基本事件共有4×4=16个，然后求出 时，基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到结果；（2）分类讨论方程根分别为1，2，3，5时，基本事件的个数，然后代入古典概型公式即可得到结果．
(1)因为是投掷两次，因此基本事件 共有16个，
当 时， 的所有取值为(1,3)，(3,1)，
所以 ．
(2)①若方程一根为 ，则 ，即 ，不成立．
②若方程一根为 ，则 ，即 ，所以 ．
③若方程一根为 ，则 ，即 ，所以 ．
④若方程一根为 ，则 ，即 ，所以 ．
综合①②③④知， 的所有可能取值为(1,2)，(2,3)， (3, 4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为 ．
考点：1．创新能力；2．古典概型．
20．（1） ；（2）存在
【解析】试题分析：（1）由离心率为 ，倾斜角为 的直线 交椭圆于 两点， .通过联立直线方程与椭圆的方程，可求得 的值.即可得结论.
（2）依题意可得符合要求的圆E，即为过点 , 的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到点 距离的最小值是 ，结合图形可得圆心E在线段 上，半径最小.又由于点F已知，即可求得结论.
试题解析：（1）因为离心率为 ，所以 ，
所以椭圆方程可化为： ，直线 的方程为 ， 2分
由方程组 ，得： ,即 , 4分
设 ，则 ， 5分
又 ，
所以 ，所以 ，椭圆方程是 ； 7分
（2）由椭圆的对称性，可以设 ，点 在 轴上，设点 ，
则圆 的方程为 ，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点 距离的最小值是 ，
设点 是椭圆 上任意一点，则 , 9分
当 时， 最小，所以 ① 10分
又圆 过点 ，所以 ② 11分
点 在椭圆上，所以 ③ 12分
由①②③解得： 或 ，
又 时， ，不合，
综上：椭圆 存在符合条件的内切圆，点 的坐标是 ． 13分
考点：1.待定系数求椭圆方程.2.函数的最值.3.方程的思想解决解决解几问题.3.归纳化归的思想.4.运算能力.
21．（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）
【解析】
试题分析：（1）先求导，再令导数等于0，解导数大于0得函数的增区间，解导数小于0得函数的减区间。（2）可将问题转化为在 上 恒成立问题，即在 上 。先求导 ，因为 ，故可只讨论分子的正负问题，不妨令 ，讨论 在区间 上的正负问题，同时注意对 的讨论。根据导数正得增区间导数负得减区间，再根据函数的单调性求函数的最值。
解：⑴ 当 时， ，定义域为 ，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
⑵ 因为对任意 ，直线 的倾斜角都是钝角，
所以对任意 ，直线 的斜率小于0，即 ， ，
即 在区间 上的最大值小于1，
， ．
令
①当 时， 在 上单调递减， ，显然成立，所以 ．
②当 时，二次函数 的图象开口向下，
且 ， ，
， ，故 ， 在 上单调递减，
故 在 上单调递减， ，显然成立，所以 ．
⑶ 当 时，二次函数 的图象开口向上，且 ， ．
所以 ，当 时， ． 当 时， ．
所以 在区间 内先递减再递增．
故 在区间 上的最大值只能是 或 ．
所以 即 所以 ．
综上 ．
考点：1用导数研究函数的性质；2分类讨论思想。