2015高考数学不等关系与不等式一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
不等式的基本性质1、4、5、6
比较大 小7、8、10、12、15
不等式的性质应用2、3、9、14
用不等关系表示不等式11、13
一、选择题
1.(2013泰安模拟)如果a>b,则下列各式正确的是( D )
(A)a•lg x>b•lg x(B)ax2>bx2
(C)a2>b2(D)a•2x>b•2x
解析:∵a>b,2x>0,∴a•2x>b•2x.故选D.
2.(2013山东省德州市期末联考)设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的( A )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
解析:若a≥1,b≥1,则a+b≥2.当a=5,b= 时有a+b≥2成立,但b<1,所以“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分而不必要条件.故选A.
3.(2013潍坊模拟)若角α,β满足- <α<β<π,则α-β的取值范围是( B )
(A) - , (B) - ,0
(C) 0, (D) - ,0
解析:∵- <α<β<π,
∴- <α<π,-π<-β< ,
∴- <α-β< ,
又α-β<0,∴- <α-β<0.故选B.
4.若a
解析:法一 由a
所以a2>ab>b2.
故选C.
法二 由a
即a2>ab,ab-b2=b(a-b)>0,即ab> b2,
因此a2>ab>b2.故选C.
5.(2013南平模拟)如果a,b,c满足c
(C)cb2
6.(2 013浙江龙泉市模拟)如果a
解析:法一 由a
则 = - 2< - 2= ,故选项D正确.
法二 ∵a
∴a2>b2,故选项B错;
a-1=-1, ∴ =-1<- = ,故选项C错;
= , = ,
∴ < ,故选项D正确.
故选D.
7.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( D )
(A)c>b>a(B)b>c>a
(C)a>c>b(D)a>b>c
解析:∵1
即log32>log52>log72,
a=log3(3×2)=1+log32,b=log510=1+log52,
c=log714=1+log72,
∴a>b>c.故选D.
二、填空题
8.已知a+b>0,则 + 与 + 的大小关系是 .
解析: + - = +
=(a-b)
= .
∵a+b>0,(a-b)2≥0,
∴ ≥0.
∴ + ≥ + .
答案: + ≥ +
9.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是 .
解析:∵ab2>a>ab,
∴a≠0,
当a>0时,b2>1>b,
即
解得b<-1;
当a<0时,b2<1
综上可得b<-1.
答案:(-∞,-1)
10.(2013南昌一模)现给出三个不等式:①a2+1>2a;②a2+b2>2 a-b- ;③ + > + .其中恒成立的不等式共有 个.
解析:①∵a2+1-2a=(a-1)2≥0,故①不恒成立;
②∵a2+b2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,
∴a2+b2>2 a-b- 恒成立.
③∵( + )2=17+2 ,( + )2=17+2 ,
又∵ > ,
∴17+2 >17+2 ,
∴ + > + ,成立.
答案:2
11.(2013滨州模拟)A杯中有浓度为a的盐水x克,B杯中有浓度为b的盐水y克,其中A杯中的盐水更咸一些.若将A,B两杯盐水混合在一起,其咸淡的程度可用不等式表示为 .
解析:依题意知混合后盐水的咸淡程度m应满足b
b<
①若a>b>0,则 > ;
②若a>b>0,则a- >b- ;
③若a>b>0 ,则 > ;
④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+ ≥2.
其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上).
解析:①作差可得 - = ,而a>b>0,则 <0,①是假命题.②a>b>0,则 < ,进而可得- >- ,所以可得a- >b- ,②是真命题;③ - = = = <0,③是假命题;④当a-b<0时此式不成立,④是假命题.
答案:②
三、解答题
13.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7枝,练习本至少买6本.写出满足条件的不 等式.
解:设铅笔买x枝,练习本买y本(x,y∈N*),总钱数为
0.6x+0.7y,且不大于10,
∴
14.若α,β满足 试求α+3β的取值范围.
解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
由
解得
∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β),
∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,
∴两式相加,得1≤α+3β≤7 .
15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车 型都是一样的,试根据单位去的人数比 较两车队的收费哪家更优惠.
解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,
则y1=x+ x•(n-1)= x+ xn,y2= nx.
所以y1-y2= x+ xn- nx
= x- nx
= x .
当n=5时,y1=y2 ;当n>5时,y1
因此当单位去的人数为5人时 ,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.