沈阳二中2015届高三数学上学期期中试题（新人教A版文科附答案）
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，则 ( )
A．{ ｜0＜ ＜ } B.{ ｜ ＜ ＜1} C.{ ｜0＜ ＜1} D.{ ｜1＜ ＜2}
3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”．
B．“ ” 是“ ”的必要不充分条件.
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题.
D．命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”．
4. 已知各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列，则 （ ）
A. 27 B.3 C. 或3 D.1或27
5. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ( )
A． B． C． D．
6. 已知 ,则 ( )
A． B． C． D．
7. 已知x，y满足 记目标函数 的最小值为1，最大值为7，则 的值分别为 （ ）
A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-2
8．已知等比数列 满足 ＞0， ＝1,2，…，且 ，则当 ≥1时，
＝ （ ）
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
9.已知x∈0，π2，且函数f(x)＝1＋2sin2xsin 2x的最小值为b，若函数g(x)＝－1π4＜x＜π28x2－6bx＋40＜x≤π4，则不等式g(x)≤1的解集为 ( )
A.π4，π2 B.π4，32 C.34，32 D.34，π2
10.设 F1，F2是双曲线C： (a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线 与 的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
12.函数 ，在定义域 上表示的曲线过原点，且在 处的切线斜率均为 .有以下命题：
① 是奇函数；②若 内递减，则 的最大值为4；③ 的最大值为M，最小值为m，则 ；④若对 恒成立，则 的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.
13.. 若函数 在 上可导， ，则 .
14. 若 且 ，则 的最小值为 .
15.抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线 的右焦点重合，过点P（2,0）且斜率为1的直线 与抛物线C交于A,B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_______
16.对于实数a,b,定义运算 ： 设 ，且关于x的方程 恰有三个互不相等的实数根 ，则 的取值范围是___________
三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
（1）已知 ，且 ，求 的值；
（2）已知 为第二象限角，且 ，求 的值.
18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
且 .
(Ⅰ)求角 的大小； (Ⅱ)若 的最大值．
19．（本题满分12分）
设数列 是等差数列，数列 的前 项和 满足 且
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式：
（Ⅱ）设 ，设 为 的前n项和，求 .
20.（本题满分12分）
设椭圆C： 的离心率 ，右焦点到直线 的距离 ，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。
21.（本题满分12分）
已知函数 ，在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.
(1)求函数f(x)解析式；
（2）若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量 都有 ，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）(m 2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围；
22.（本题满分12分）
已知函数 （ 均为正常数），设函数 在 处有极值.
（1）若对任意的 ，不等式 总成立，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
沈阳二中2014――2015学年度上学期期中
高三（15届）文科数学试题答案
一．选择题：1. B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.B
二．填空题：13.-4 14. 15..11 16.
三、解答题：
17.
18.解：(Ⅰ)由3a－2csin A＝0及正弦定理，
得3sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)，（1分）
∴sin C＝32，（4分）∵△ABC是锐角三角形，
∴C＝π3 （6分）
(Ⅱ)∵c＝2，C＝π3，由余弦定理，a2＋b2－2abcos π3＝4，
即a2＋b2－ab＝4 （8分）
∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3•a＋b22，即(a＋b)2≤16，（10分）
∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”（11分）
故a＋b的最大值是4.（12分）
19.解： (1) , (3分) . （3分）
（2） .（12分）
20. (1)
(2)设A ，当直线AB的斜率不存在时， ，又 ，解得 ，即O到直线AB的距离 ，当直线的斜率存在时，直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆 联立消去y得 ， ， 即 ，整理得 O到直线AB的距离 当且仅当OA=OB时取“=”有 得 , 即弦AB的长度的最小值是
21. （1）由已知得 ，根据题意，得 即 解得
（2）由（1）知 则 令 又f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-2,f(2)=2,
(3)设切点为（ ，则 切线的斜率为 则有 ，即 过点M(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，方程 有三个不同的实数解， 有三个不同的零点， 令 解得x=0,x=2,
22.解：∵ ，∴ ，由题意，得 ，解得 . ---- 2分
（1）不等式 等价于 对于一切 恒成立. ---- 4分
记 ，则 ----5分
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，从而 在 上是减函数.
∴ ，于是 . ---- 6分
（2） ，由 ，得，即 . ---- 7分
∵函数 在区间 上单调递增，
∴ ，
则有 ----9分，即 ，
∴ 时， ---- 12分