2014嘉峪关市高考数学适应性考试二（带答案理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设 则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
2．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（l≤X≤5）=0．682 6，则P（X>5）=（ ）
A．0．158 8 B．0．158 7 C．0．158 6 D．0．158 5
3．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入
的 的值为（ ）
A．―1或1 B．―2或0 C．―2或1 D．―1或0
4．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+ ）内有1 006个零点，则f（x）的零点共有（ ）
A．1 006个 B.100个C．2 012个 D．2 013个
5．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b= 2ccos A，c=2bcos A，
则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．设{an}是等比数列，则“a1
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A．4 B．12 C．2 D．4
8．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足 1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数 相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．432 B．288 C．216 D．144
9．已知函数 则 与 两函数的图像的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.已知二次函数 的导函数为 ，且 ＞0， 的图象与x
轴恰有一个交点，则 的最小值为 ( )
A．3 B．32 C．2 D．52
11．设 ， 分别为双曲线 ： 的左、右焦点， 为双曲线
的左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 、 两点，且满足：
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.函数 的定义域为A,若 且 时总有 ,则称 为单函数.例如:函数 是单函数.给出下列命题:
①函数 是单函数;②指数函数 是单函数;③若 为单函数, 且 ,则 ;④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中正确命题的个数是 ( )
A．3B．2C． D．0
二、填空题（本题4小题，每小题5分,共20分。 请将正确答案填入答题卷中。
13．由曲线 所围成的图形面积是 .
14、已知 ， ，则 的值= 。
15．若实数x，y满足 且 的最小值为4，则实数b的值为
16.已知函数 ，设 ，且函数
的零点均在区间 内，则圆 的面积的最小值是 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知 ，且 .
（1）在锐角 中， 分别是角 的对边，且 , 的面积为 ，当 时， ,求 的值.
（2）若 时， 的最大值为 （ 为数列 的通项公式），又数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
18. （本小题满分12分）
小明打算从 组和 组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛．已知小明选择 组动作的概率是选择 组动作的概率的3倍，若小明选择 组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择 组动作则一定能正常发挥并获得8分．据平时训练成绩统计，小明能正常发挥 组动作的概率是 ．
（1）求小明选择 组动作的概率；
（2）设 表示小明比赛时获得的分数，求 的分布列与期望．
19．（本题满分12分）
如图，四边形 是矩形， 平面 ， 四边形 是梯形 ， ，点 是 的中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
20．（本小题满分12分）
如图， 轴，点M在DP的延长线上，且 ．当点P在圆 上运动时。
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点 的切线 交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。
21．（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）设定义在D上的函数 在点 处的切线方程为 .当 时，若 在D内恒成立，则称P为函数 的“转点”.当 时，问函数 是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由。
23．（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
已知直线 的极坐标方程为 ，圆 的参数方程为 （其中 为参数）
（1）判断直线 圆 的位置关系；
（2）若椭圆的参数方程为 （ 为参数），过圆 的圆心且与直线 垂直的直线 与椭圆相交于两点 ，求 .
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数
（1）当 时，求函数 的定义域；
（2）若函数 的定义域为 ,求实数 的取值范围。
嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（二）
数学（理科）答案
一、选择题（本题共10个小题；每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号123456789101112
答案DBCDCBABBCAA
二、非选择题（本题共5个小题；每小题4分，共20分）
13．e-2 ；14． ；15．3；16．
三、计算题（本题共6个小题，共80分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
解（Ⅰ） ，
，………………2分
当 时，由 得： ，
∴ ，又 是锐角三角形，∴
∴ 即 ，………………4分
又由 得： ，………………5分
由余弦定理得： ∴ …7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 由 ，可得： ， 当 即 时，
此时 ，∴ 取最大值为 ， ………………10分
又
………………12分
18.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）设小明选择 组动作的概率为 ，则小明选择 组动作的概率为 ，依题意得
即 。所以小明选择 组动作的概率为0.75………………4分
（Ⅱ）依题意得 =10、6、8
………………10分
∴ 的分布列为
1068
………………………………………12分
19、（12分）
（Ⅰ）证明：连结 ，交 于点 ，∴点 是 的中点.
∵点 是 的中点，∴ 是 的中位线. ∴
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .………………………5分
（Ⅱ）解： 四边形 是梯形， ，
又四边形 是矩形， ，又 ，
又 ， 。在 中， ， 由 可求得 ……………… 6分
以 为原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.… 7分
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， . 设平面 的法向量 ，
∴ ， . ∴ 令 ，则 ， .
∴ . 又 是平面 的法向量，
∴ 如图所示，二面角 为锐角.
∴二面角 的余弦值是 …………………………12分
20.解:设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
则 ， ，所以 ， ， ①
因为 在圆 上，所以 ②
将①代入②，得点 的轨迹方程C的方程为 ． ......4分
（Ⅱ）由题意知， ．
当 时，切线 的方程为 ，点A、B的坐标分别为
此时 ，当 时，同理可得 ； ----------6分
当 时，设切线 的方程为
由
得 ③
设A、B两点的坐标分别为 ，则由③得：
．-----------------------------9分
又由l与圆 相切，得 即 ---10分
所以
因为 且当 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
依题意，圆心 到直线AB的距离为圆 的半径，所以 面积 ，当且仅当 时， 面积S的最大值为1，相应的 的坐标为 或者 ．---------------12分
21.解：（I）当 时，
当 ，当 ，
所以函数 在 和 单调递增，在 单调递减，
所以当 时，函数 取到极大值为 ，
当 时，函数 取到极小值为-2. …………（6分）
（II）当 时，由函数 在其图像上一点 处的切线方程，
得
设
且
…………（8分）
当 时， 在 上单调递减，
所以当 时， ；
当 时， 在 上单调递减，
所以当 时， ；
所以 在 不存在 “转点”. …………（10分）
当 时， ，即 在 上是增函数.
当 时， 当 时， 即点 为“转点”.
故函数 存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. …………（12分）
23选修4―4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）将直线 极坐标方程为 化为直角坐标方程： .
将圆的参数方程化为普通方程： ，圆心为 ，
∴圆心 到直线的距离为 ，
∴直线 与圆 相离。……………… 4分
（Ⅱ）将椭圆的参数方程化为普通方程为 ，
又∵直线 ： 的斜率 ，∴直线 的斜率为 ，即倾斜角为 ，
则直线 的参数方程为： ，即 ，
(2).把直线 的参数方程 代入 得：
故可设 是上述方程的两个实根，则有 又直线 过点 ，故由上式及 的几何意义得： .……………… 10分
（24）选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）当 时，依题意得：
（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为 。
（法二）不等式可化为 或 或 ，
∴不等式的解集为 。………………5分
（Ⅱ）依题意得：关于 的不等式 在 上恒成立，…………6分
即 在 上恒成立，
………………8分
………………10分