椭圆复习检测（含解析2015数学高考一轮）
A组 基础演练
1．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为
( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
解析：b＝3ca＝45a2＝b2＋c2，解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.
答案：C
2．(2013•课标全国Ⅱ)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF2F2＝30°，则C的离心率为
( )
A.36 B.13
C.12 D.33
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝3.所以e＝2c2a＝|F1F2||PF1||PF2|＝33.故选D.
答案：D
3．(2013•四川)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是
( )
A.24 B.12
C.22 D.32
解析：左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴，
当x＝－c时，c2a2＋y2Pb2＝1⇒y2P＝b21－c2a2＝b4a2⇒yP＝b2a(负值不合题意，已舍去)，点P－c，b2a，
由斜率公式得kAB＝－ba，kOP＝－b2ac.
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－ba＝－b2ac⇒b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴c2a2＝12⇒e＝ca＝22.故选C.
答案：C
4．已知椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1→•MF2→＝0，则点M到y轴的距离为
( )
A.233 B.263
C.33 D.3
解析：由题意，得F1(－3，0)，F2(3，0)．
设M(x，y)，则MF1→•MF2→＝(－3－x，－y)•(3－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3.①
又因为点M在椭圆上，故x24＋y2＝1，
即y2＝1－x24.②
将②代入①，得34x2＝2，解得x＝±263.
故点M到y轴的距离为263.
答案：B
5．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，
即∠PF2F1＝π2，设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，所以离心率e＝2c2a＝33.
答案：33
6．(2013•福建)椭圆Г：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：因为直线y＝3(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF1F2＝60° ，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，故|MF1|＝c，|MF2|＝3c，
由点M在椭圆上知，c＋3c＝2a.
故离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.
答案：3－1
7. 如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝2，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．
解析：设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
则A(a,0)，B(0，b)，Ca2，b2，Fa2－b2，0.
依题意，得 a2－b2＝2，FM的直线方程是x＝2，
所以M2 ，ba a2－2.
由于O，C，M三点共线，所以ba2－2a2＝b2a2，
即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.
所求方程是x24＋y22＝1.
答案：x24＋y22＝1
8．(2013•天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC→•DB→＋AD→•CB→＝8，求k的值．
解：(1)设F(－c,0)，由ca＝33，知a＝3c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有－c2a2＋y2b2＝1，
解得y＝±6b3，于是26b3＝433，解得b＝2，
又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，
所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组y＝kx＋1，x23＋y22＝1消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
根据根与系数的关系知x1＋x2＝－6k22＋3k2，
x1x2＝3k2－62＋3k2.
因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC→•DB→＋AD→•CB→＝(x1＋3，y1)•(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)•(3－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)•(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋2k2＋122＋3k2.
由已知得 6＋2k2＋122＋3k2＝8，解得k＝±2.
9．(2014•河南质检)已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．
解：(1)直线x＋ky－3＝0经过定点F(3,0)，即点F(3,0)是椭圆C的一个焦点．设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a＋3＝8，即a＝5.
所以b2＝a2－32＝16.所以椭圆C的方程为x225＋y216＝1.
(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，所以m225＋n216＝1，即n2＝16－16m225(0≤m2≤25)．
所以原点到直线l：mx＋ny＝1的距离d＝1m2＋n2＝1925m2＋16＜1.
所以直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1恒相交，
L2＝4(r2－d2)＝41－1925m2＋16.
因为0≤m2≤25，所以152≤L≤465.
B组 能力突破
1．(2013•辽宁)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连结AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为
( )
A.35 B.57
C.45 D.67
解析：如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝82＋102－x22×8×10＝45.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴ca＝57.故选B.
答案：B
2．(2014•河北唐山市二模)P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1→•PF2→等于
( )
A．3 B.3
C．23 D．2
解析：由题意可得|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝4，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|•cos 60°
＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4，
PF1→•PF2→＝|PF1→||PF2→|•cos 60°
＝4×12＝2，故选D.
答案：D
3．已知椭圆x216＋y225＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是________．
解析：F1(0，－3)，F2(0,3)，∵3＜4，
∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.
设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±165.
即点P到y轴的距离是165.
答案：165
4．(2013•课标全国Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解：由已知的圆M的圆心M(－1,0)
半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以
|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则|QP||QM|＝Rr1，可求得Q(－4,0)，
所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得|3k|1＋k2＝1，
解得k＝±24.
当k＝24时，将y＝24x＋2代入x24＋y23＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2＝－4±627.
所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.
当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.
综上，|AB|＝23或|AB|＝187.