2014嘉峪关市高考数学适应性考试三（含解析理科）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1．已知i为虚数单位， ，若 是纯虚数，则 的值为
A．-1或1B．1C．-1D．3
2．若 是偶函数，则p是q的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在 上单调递减，并且是偶函数的是
A． B． C． D．
4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量 之间关系最强的是
A． B． C． D．
5．如图所示的程序框图，该算法的功能是
A．计算 … 的值
B．计算 … 的值
C．计算 … … 的值
D．计算 … … 的值
6．双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，渐近线分别为 ，点P在第一象限内且在 上，若 ，则该双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
7．△ 各角的对应边分别为 ，满足 ，则角 的范围是
A． B． C． D．
8．函数 的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 上的最小值为
A． B． C． D．
9．已知实数 满足： ， ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为
A． B． C． D．
11．已知函数 的图象在点 与点 处的切线互相垂直，并交于点 ，则点 的坐标可能是
A． B． C． D．
12． 为圆 ： 上任意一点， 为圆 ： 上任意一点， 中
点组成的区域为 ，在 内部任取一点，则该点落在区域 上的概率为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13． ．
14．已知函数 ，则 ．
15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 ，则圆锥的体积为 ．
16．在平面直角坐标系 中，已知点 在椭圆 上，点 满足 ，且 ，则线段 在 轴上的投影长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（本小题满分12分）
设数列 的前 项和 ，数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18．（本小题满分 分）
低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数 ，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数 等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例 数据如下：
东城小区低碳家庭非低碳家庭西城小区低碳家庭非低碳家庭
比例
比例
（1）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这 个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；
（2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有 的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选 个家庭，记 表示 个家庭中“低碳家庭”的个数，求 和 ．
19．（本小题满分 分）
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， ， ， 是 中点， 为 上一点．
（1）求证： 平面 ；
（2）当 为何值时，二面角 为 ．
20．（本小题满分 分）
已知抛物线 ： 和 ： 的焦点分别为 ， 交于 两点（ 为坐标原点），且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 的直线交 的下半部分于点 ，交 的左半部分于点 ，点 坐标为 ，求△ 面积的最小值.
21．（本小题满分 分）
已知函数 ， ．
（1）若函数 的图象在 处的切线与 轴平行，求 的值；
（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
23．（本小题满分 分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 ．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若点 在曲线 上，点 ，当点 在曲线 上运动时，求 中点 的轨迹方程．
24．（本小题满分 分）选修4─5：不等式证明选讲．
已知函数 ．
（1）求 的解集；
（2）设函数 ，若 对任意的 都成立，求 的取值范围．
数学理参考答案及评分参考
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】
【解析】四个函数中，是偶函数的有 ，又 在 内单调递增，故选 ．
4．【答案】
【解析】在频率等高条形图中， 与 相差很大时，我们认为两个分类变量
有关系，四个选项中，即等高的条形图中 所占比例相差越大，则分类
变量 关系越强，故选 ．
5．【答案】
【解析】初始值 ，第 次进入循环体： ， ；当第 次进入
循环体时： ， ，…，给定正整数 ，当 时，
最后一次进入循环体，则有： … ， ，
退出循环体，输出 … … ，故选 ．
6．【答案】B
7．【答案】
【解析】由 得： ，化简得：
，同除以 得， ，即
，所以 ，故选 ．
8．【答案】
【解析】函数 向左平移 个单位得
，又其为奇函数，故则 ，
，解得 ，又 ，令 ，得 ，
∴ ，又∵ ，∴ ，即
当 时， ，故选 ．
9．【答案】
【解析】画出 约束条件限定的可行域为如图阴影
区域，令 ，则 ，
先画出直线 ，再平移直线 ，当经
过点 ， 时，代入 ，可知
，∴ ，故选 ．
10．【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为 ，高为 ，则 ，则 ，则
侧 ， 全 ，故圆柱的侧面积与
全面积之比为 ，故选 ．
11．【答案】
【解析】由题， ， ，则过 两点的切线斜率
， ，又切线互相垂直，所以 ，即 .两
条切线方程分别为 ，联立得
，∵ ，∴ ，代入 ，解得
，故选 ．
12．【答案】
【解析1】设 ，中点 ，则 代入 ，
得 ，化简得：
，又
表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知
轨迹是在以 为圆心以 为半径的圆
绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，
即应有 ，那么在 内部任取一点落在 内的概率
为 ，故选 ．
【解析2】设 ， ， ，则
，① ，②，①2 ②2得：
，所以 的轨迹是以原点为圆心，
以 为半径的圆环，那么在 内部任取一点落在 内的概率
为 ，故选 ．
13．【答案】
14．【答案】
【解析】∵ ，且
，∴ ．
15．【答案】
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ 及其内切圆 和外切圆 ，且
两圆同圆心，即△ 的内心与外心重合，易得△ 为正三角形，由题
意 的半径为 ，∴△ 的边长为 ，∴圆锥的底面半径为 ，
高为 ，∴ ．
16．【答案】
【解析】 ，即 ，则 三点共线，
，所以 与 同向，∴ ，设 与 轴夹
角为 ，设 点坐标为 ， 为点 在 轴的投影，
则 在 轴上的投影长度为
.当且仅当 时等号成立．
则线段 在 轴上的投影长度的最大值为 ．
17．【解析】（1）当 时， ………………………2分
由 ，得 ，
∴
∴ ………………………6分
（2）当 时， ，∴ …………………7分
当 时，
……9分
+…+ …
+…+ …
………11分
上式对于 也成立，所以 ． ………12分
18．【解析】（1）设事件“ 个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为 ， ………1分
则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自
东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．
∴ ．…6分
（2）因为东城小区每周有 的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两
类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：
小区
低碳家庭非低碳家庭
………8分
由题意，两周后东城小区 个家庭中的“低碳家庭”的个数 服从二项分布，
即 ………10分
∴ ， ………11分
． ………12分
19．【解析】『法一』(1)取 中点为 ，连结 ，………1分
∵ 分别为 中点
∴ ∥ ∥ ，
∴ 四点共面， ………3分
且平面 平面
又 平面 ，
且 ∥平面
∴ ∥
∵ 为 的中点，∴ 是 的中点， ………5分
∴ ． ………6分
（2）连结 ， ………7分
因为三棱柱 为直三棱柱，∴ 平面
∴ ，即四边形 为矩形，且
∵ 是 的中点，∴ ，
又 平面 ，
∴ ，从而 平面 ………9分
∴ 是 在平面 内的射影
∴ 与平面 所成的角为∠
又 ∥ ，
∴直线 和平面 所成的角即 与平面 所成的角…10分
设 ，且三角形 是等腰三角形
∴ ，则 ，
∴
∴直线 和平面 所成的角的余弦值为 ． ………12分
『法二』（1）因为三棱柱 为直三棱柱，
∴ 平面 ，又
∴以 为坐标原点，分别以
所在直线为 轴，
建立如图空间直角坐标系. ………1分
设 ，又三角形 是
等腰三角形，所以
易得 ， ， ，
所以有 ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，即
，令 ，有 ………4分
（也可直接证明 为平面 法向量）
设 ， ，又 ，
∴
若 ∥平面 ，则 ，所以有 ，
解得 ，∴ ………6分
（2）由（1）可知平面 的一个法向量是 ，
， ，求得
设直线 和平面 所成的角为 ， ，
则 ， ………11分
所以
∴直线 和平面 所成的角的余弦值为 ． ………12分
20．【解析】（1）由已知得： ， ，∴ ………1分
联立 解得 或 ，即 ， ，
∴ ………3分
∵ ，∴ ，即 ，解得 ，∴ 的方程为 ． ………5分
『法二』设 ，有 ①，由题意知， ， ，∴ ………1分
∵ ，∴ ，有 ，
解得 ， ………3分
将其代入①式解得 ，从而求得 ，
所以 的方程为 ． ………5分
（2）设过 的直线方程为
联立 得 ，联立 得 ………7分
在直线 上，设点 到直线 的距离为 ，点 到直线
的距离为
则 ………8分
………10分
当且仅当 时，“ ”成立，即当过原点直线为 时，…11分
△ 面积取得最小值 ． ………12分
『法二』联立 得 ，
联立 得 ， ………7分
从而 ，
点 到直线 的距离 ，进而
………9分
令 ，有 ， ………11分
当 ，即 时，即当过原点直线为 时，△ 面积取
得最小值 ． ………12分
21．【解析】
（1） ………2分
因为 在 处切线与 轴平行，即在 切线斜率为 即 ，∴ ． ………5分
（2） ， 令 ，则 ，
所以 在 内单调递增，
（i）当 即 时， ， 在
内单调递增，要想 只需要 ，解得
，从而 ………8分
（ii）当 即 时，由 在 内单调递增知，
存在唯一 使得 ，有 ，令 解
得 ，令 解得 ，从而对于 在 处取最小值，
，又
，从而应有 ，即
，解得 ，由 可得 ，有
，综上所述， ． ………12分
22．【解析】（1）根据弦切角定理，
知 ， ，
∴△ ∽△ ，则 ，
故 .…5分
（2）根据切割线定理，知 ，
，
两式相除，得 （*）.
由△ ∽△ ，
得 ， ，又 ，由（*）
得 ． ………10分
23. 【解析】（1）将 代入 ，得 的参数方程为
∴曲线 的普通方程为 ． ………5分
（2）设 ， ，又 ，且 中点为
所以有：
又点 在曲线 上，∴代入 的普通方程 得
∴动点 的轨迹方程为 ． ………10分
24.【解析】（1）
∴ 即
∴ ① 或 ② 或 ③
解得不等式①： ；②：无解 ③：
所以 的解集为 或 ． ………5分
（2） 即 的图象恒在 图象的上方
图象为恒过定点 ，且斜率 变化的一条直线作函数 图象如图,其中 ， ，∴
由图可知，要使得 的图象恒在 图象的上方
∴实数 的取值范围为 ． ……