[A组 基础演练•能力提升]
一、选择题
1.(2014年马鞍山期末)如图所示，已知AB→＝2BC→，OA→＝a ，OB→＝b，OC→＝c，则下列等式中成立的是( )
A．c＝32b－12a B．c＝2b－a
C．c＝2a－b D．c＝32a－12b
解析：由AB→＝2BC→得
AO→＋OB→＝2(BO→＋OC→)，
即2OC→＝－OA→＋3OB→，即c＝32b－12a.
答案：A
2．(2014年开封模拟)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝( )
A．－13 B．－23 C.13 D.23
解析：由题意，如图，
CD→＝CB→－DB→＝CB→－12AD→
＝CB→－12(CD→－CA→)
＝CB→－12CD→＋12CA→，
∴32CD→＝12CA→＋CB→.
∴CD→＝13CA→＋23CB→.故λ＝23.
答案：D
3.(2014年海滨一模)如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→＝( )
A.12AB→＋12AD→
B．－12AB→－12AD→
C．－12AB→＋12AD→
D.12AB→－12AD→
解析：在△CEF中，有EF→＝EC→＋ CF→，因为E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的中点，所以CF→＝12CB→.所以EF→＝EC→＋CF→＝12DC→＋12CB→＝12AB→＋12DA→＝12AB→－12AD→.
答案：D
4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则( )
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上
解析：∵PA→＋PB→＋PC→＝AB→，∴PA→＋PB→＋PC→－AB→＝0，即PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，∴PA→＋PA→＋PC→＝0，2PA→＝CP→，∴点P在线段AC上．
答案：D
5．(2014年大连联考)已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a－b＋c－d＝0 B．a－b＋c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0
解析：依题意得，AB→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有OA→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0，故选A.
答案：A
6．(2014年延边质检)在△ABC中，N为边AC上一点，且AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为( )
A.911 B.511 C.411 D.311
解析：由AP→＝mAB→＋211AC→，得 AP→＝mAB→＋211×4AN→＝mAB→＋811AN→，因为点B，P，N三点共线，所以m＋811＝1，即m＝311.
答案：D
二、填空题
7．下列四个命题：①若|a|＝0，则a为零向量 ；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确个数有________个．
解析：②中两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；③中两个向量平行，只说明这两个向量的方向相同或相反，对向量的模没有要求；故只有①④正确．
答案：2
8．设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.
解析：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故8－λk＝0，k－2λ＝0，解得k＝±4.
答案：±4
9．(2014年 淮阴模拟)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立， 则m＝________.
解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM→＝23AD→，因为AD为中线，则AB→＋AC→＝2AD→＝3AM→，所以m＝3.
答案：3
三、解答题
10．已知P为△ABC内一点，且3AP→＋4BP→＋5CP→＝0.延长AP交BC于点D，若AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AP→、AD→.
解析： ∵BP→＝AP→－AB→＝AP→－a，
CP→＝AP→－AC→＝AP→－b，
又3AP→＋4BP→＋5CP→＝0，
∴3AP→＋4(AP→－a) ＋5(AP→－b)＝0.
∴AP→＝13a＋512b.
设AD→＝tAP→(t∈R)，
则AD→＝13t a＋512tb．①
又设BD→＝kBC→(k∈R)，
由BC→＝AC→－AB→＝b－a，得BD→＝k(b－a)．
而AD→＝AB→＋BD→＝a＋BD→，
∴AD→＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②，得13t＝1－k，512t＝k.解得t＝43.
代入①，有AD→＝ 49a＋59b.
∴AP→＝13a＋512b，AD→＝49a＋59b.
11.设 点O在△ABC内部，且有4OA→＋OB→＋OC→＝0，求△ABC的面积与△OBC的面积之比．
解析：取BC的中点D，连接OD，
则OB→＋OC→＝2OD→，
又4OA→＝－(OB→＋OC→)＝－2OD→，
即OA→＝－12OD→，
∴O、A、D三点共线，且|OD→|＝2|OA→|，
∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，
∴S△ABC∶S △OBC＝3∶2.
12．( 能力提升)已知a，b不共线，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解析：由题设知，CD→＝d－c＝2b－3a，CE→＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE→＝kCD→，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有t－3＋3k＝0，t－2k＝0，
解之得t＝65.
故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．
[B组 因材施教•备选练习]
1．已知在△ABC中，D是AB边上的一点，CD→＝λ(CA→|CA→|＋CB→|CB→|)，|CA→|＝2，|CB→|＝1，若CA→＝b，CB→＝a，则用a，b表示CD→为( )
A.23a＋13b B.13a＋23b
C.13a＋13b D.23a＋23b
解析：由题意知，CD是∠ACB的角平分线，故CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b，故选A.
答案：A
2．(2014年荆州模拟)O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F给出下列命题：
①OA→＋OB→＋OC→＝0；
②OD→＋OE→＋OF→＝0；
③|OD→|∶|OE→|∶|OF→|＝cos A∶cos B∶cos C；
④∃λ∈R，使得AD→＝λAB→|AB→|sin B＋AC→|AC→|sin C.
以上命题正确的个数是( )[
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：OA→＋OB→＝2OF→，OA→＋OC→＝2OE→，OC→＋OB→＝2OD→，故OA→＋OB→＋OC→＝OD→＋OE→＋OF→，OA→＋OB→＝2OF→不一定等于－OC→，故①，②不对；设角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝b2＋a2－c22ba，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径，则|OD→|2＝R2－a24，|OE→|2＝R2－b24，|OF→|2＝R2－c24，代入确定③是对的；存在λ＝S|BC→|时，S是△ABC的面积，AD→＝S|BC→|＝AB→|AB→|sin B＋AC→|AC→|sin C＝SAB→|BC→||AB→|sin B＋AC→|AC→||BC→|sin C＝SAB→2S＋AC→2S＝12AB→＋AC→，④也是对的．
答案：B
3.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值 ．
解析：设BM→＝e1，CN→＝e2，
则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，
BN→＝2e1＋e2，
∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在λ、μ∈R，
使AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.
故BA→＝BP→－ AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，
∴λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，∴λ＝45μ＝35，
∴AP→＝45AM→，∴PM→＝15AM→，即AP∶PM＝4∶1.