一、选择题
1．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为
A．20 B．30
C．40 D．50
解析 设公差为d，由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
a7＝20，得3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
答案 C
2．(2011•天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为
A．－110 B．－90
C．90 D．110
解析 ∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，
又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)•(a1－16)，
解得a1＝20.
∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.
答案 D
3．(2011•郑州第一次质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4S8＝13，则S8S16等于
A.18 B.13
C.19 D.310
解析 设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，
a5＋a6＋a7＋a8＝A2，
a9＋a10＋a11＋a12＝A3，
a13＋a14＋a15＋a16＝A4，
∵{an}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，
S4S8＝A1A1＋A2＝13，
不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，
S8S16＝A1＋A2A1＋A2＋A3＋A4＝1＋21＋2＋3＋4＝310，故选D.
答案 D
4．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2 010项和等于
A．2 010 B．－1
C．1 D．0
解析 由an＋2＝an＋1＋2an，
得qn＋1＝qn＋2qn－1，
即q2－q－2＝0，又q＜0，解得q＝－1，
又a2＝1，∴a1＝－1，S2 010＝－1×[1－－12 010]1－－1＝0.故选D.
答案 D
5．(2011•江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝
A．1 B．9
C．10 D．55
解析 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.
可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.
即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.
答案 A
6．已知数列{an}中，a2＝102，an＋1－an＝4n，则数列ann的最小项是
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
解析 根据an＋1－an＝4n，得a2－a1＝4，故a1＝98，由于an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n－1)＝98＋2n(n－1)，
所以ann＝98n＋2n－2≥2 98n•2n－2＝26，
当且仅当98n＝2n，即n＝7时等号成立．故选B.
答案 B
二、填空题
7．(2011•湖南)设Sn是等差数列{an}(n∈N＋)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
解析 设等差数列的公差为d.由a1＝1，a4＝7，得3d＝a4－a1＝6，
故d＝2，∴a5＝9，S5＝5a1＋a52＝25.
答案 25
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则S6＝________.
解析 在等比数列{an}中S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
∵S2＝6，S4－S2＝24，∴S6－S4＝2426＝96，
∴S6＝S4＋96＝126.
答案 126
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式是________．
解析 由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，
即an＋1＝12an＋1，
变形为an＋1－2＝12(an－2)，
则数列{an－2}是以a1－2为首项，12为公比的等比数列．
又a1＝2－a1，即a1＝1.则an－2＝(－1)12n－1，
所以an＝2－12n－1.
答案 2－12n－1
三、解答题
10．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得a1＋d＝2a1＋4d＝8，
∴a1＝0，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
则由已知得q＋q2＝a4，
∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.
∴{bn}的前n项和Tn＝b11－qn1－q＝1×1－2n1－2＝2n－1.
11．(2011•大纲全国卷)设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝k＝1nbk，证明：Sn＜1.
解析 (1)由题设11－an＋1－11－an＝1，
即11－an是公差为1的等差数列，又11－a1＝1，故11－an＝n.
所以an＝1－1n.
(2)证明 由(1)得bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1•n
＝1n－1n＋1，
Sn＝k＝1nbk＝k＝1n 1k－1k＋1＝1－1n＋1＜1.
12．定义一种新运算*，满足n*k＝nλk－1(n，k∈N＋，λ为非零常数)．
(1)对于任意给定的k值，设an＝n*k(n∈N＋)，求证：数列{an}是等差数列；
(2)对于任意给定的n值，设bk＝n*k(k∈N＋)，求证：数列{bk}是等比数列；
(3)设cn＝n*n(n∈N＋)，试求数列{cn}的前n项和Sn.
解析 (1)证明 ∵an＝n*k(n∈N＋)，n*k＝nλk－1(n，k∈N＋，λ为非零常数)．
∴an＋1－an＝(n＋1)*k－n*k＝(n＋1)λk－1－nλk－1＝λk－1，
又k∈N＋，λ为非零常数，∴数列{an}是等差数列．
(2)证明 ∵bk＝n*k(k∈N＋)，n*k＝nλk－1(n，k∈N＋，λ为非零常数)，
∴bk＋1bk＝n*k＋1n*k＝nλknλk－1＝λ，
又λ为非零常数，∴数列{bk}是等比数列．
(3)由题知，cn＝n*n＝nλn－1(n∈N＋，λ为非零常数)，
Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝λ0＋2λ＋3λ2＋…＋nλn－1，①
当λ＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝nn＋12；
当λ≠1时，λSn＝λ＋2λ2＋3λ3＋…＋nλn.②
①－②得：Sn＝1－λn1－λ2－nλn1－λ.
综上得Sn＝nn＋12 λ＝11－λn1－λ2－nλn1－λ λ≠1.