广东省2012届高三全真模拟卷数学文科6
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图所示，U表示全集，则用A 、B表示阴影部分正确的是( )
A. B.
C. D.
2.若复数 是实数（是虚数单位），则实数 的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
3.已知向量 =（ ）
A． B. C. D .
4.已知数列 是公差为 的等差数列，且 成等比数列，则 的前 项和 为（ ）
A． B. C． D．
5.下面说法正确的是 ( )
A．命题“ 使得 ”的否定是“ 使得 ”；
B．实数 是 成立的充要条件；
C．设 为简单命题，若“ ”为假命题，则“ ”也为假命题；
D．命题“若 则 ”的逆否命题为假命题.
6.已知 、 是两个不同平面， 是两条不同直线，则下列命题不正确的是( )
A． 则 B．m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．n∥α，n⊥β，则α⊥β D．m∥β，m⊥n，则n⊥β
7.一只小蜜蜂在一个棱长为 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为（ ）
A． B． C．0 D．
9.已知△ 中， ， ， 分别是 ， 的等差中项与等比中项，则△ 的面积等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10.已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆 上的点，则 的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）
（一）必做题（11～13题）
11.一个容量为 的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中 )
分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)
频 数2x3y24
则样本在区间 [10，50) 上的频率为 ．
12.已知函数 那么不等式 的解集为 ．
13.若目标函数 在约束条件 下的最大值是 ，
则直线 截圆 所得的弦长的范围是______________.
（二）选做题：请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线 被曲线 ： 所截得弦的中点的极坐标为 ．
15. (几何证明选讲选做题)如图所示， AB是半径等于 的⊙ 的直径，CD是⊙ 的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则 ___________.
三、解答题(共80分)
16.(本题满分12分）已知向量 ， 且满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的最大值及其对应的 值；
（3）若 ，求 的值.
17．（本题满分12分）某学校共有高一、高二、高三学生 名，各年级男、女生人数如下图：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．
（1）求 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取 名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（3）已知 ，求高三年级中女生比男生多的概率．
18．（本题满分14分）如图： 、 是以 为直径的圆上两点， ， ， 是 上一点，且 ，将圆沿直径 折起，使点 在平面 的射影 在 上，已知 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积．
19．（本题满分14分）设曲线 在点 处的切线与y轴交于点 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，猜测 的最大值并证明你的结论.
20. （本题满分14分）已知椭圆 的离心率 ，且椭圆过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为椭圆 上的动点, 为椭圆的右焦点,以 为圆心, 长为半径作圆 ,过点 作圆 的两条切线 , （ ， 为切点），求点 的坐标，使得四边形 的面积最大．
21.（本题满分14分）已知函数 .
（1）若 ，试确定函数 的单调区间；
（2）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（3）设函数 ，求证： ．
参考答案
一．选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案ACBCDDBACB
二、填空题：(每小题5分，共20分)
11. 12. 13. 14. 15. （或
三、解答题：(共80分)
16.解：（1） ， 即 ，所以
所以 …………………………………………4分
(2)
当 ，即 时， ………………8分
（3） ，即 ……………………………………………………9分
两边平方得： ，所以 …………………………10分
…………………………12分
17.解：（1）由已知有 ； 3分
（2）由（1）知高二男女生一起 人，又高一学生 人，所以高三男女生一起 人，
按分层抽样，高三年级应抽取 人； 7分
（3）因为 ，所以基本事件有：
一共11个基本事件． 9分
其中女生比男生多，即 的基本事件有：
共5个基本事件， 11分
故女生必男生多的事件的概率为 12分
18解：（1）证明：依题意： …………………………2分
平面 ∴ ……………2分
∴ 平面 ． ……………………………5分
（2）证明： 中， ，
∴ ………………………………6分
中， ，
∴ ． ……………………………………………………………………7分
∴ ． …………………………………………………………8分
∴
在平面 外
∴ 平面 ． …………………………………………………………10分
（3）解：由（2）知 ， ，且
∴ 到 的距离等于 到 的距离为1．………………………………11分
∴ ． ……………………………………………………12分
平面
∴ ． ……………14分
19.解：（1） , ………………………… 1分
∴点P处的切线斜率 , ………………………… 2分
∴切线方程为: , ………………………… 4分
令 得: ,
故数列 的通项公式为: . ………………………………… 6分
(2) ------①………………… 7分
两边同乘 得: ------②
① ②得: ………8分
∴ ……………………10分
其中 , , ,
猜测 的最大值为 .证明如下: ………………… 11分
(i)当 为奇数时， ； ………………… 12分
(ii)当 为偶数时， ,设 ,则 .
, ∴ . ………… 13分
故 的最大值为 ,即 的最大值为 . ……………… 14分
20.解：（1）依题意得， ………………………………3分
解得 ， ………………………………4分
所以椭圆 的方程为 ． ………………………………5分
（2）设 ，圆 ： ，其中
， …………7分
…………8分
又 在椭圆 上，则 ………………………………9分
所以 ， ………………………………10分
令 ，
， ………………………11分
当 时， ，当 时， ………………………12分
所以当 时， 有最大值，即 时，四边形 面积取得最大值……13分
此时点 的坐标为 或 ………………………………………14分
21.解：（1）由 得 ，所以 ．
由 得 ，故 的单调递增区间是 ，
由 得 ，故 的单调递减区间是 ．……………4分
(2)由 可知 是偶函数．
于是 对任意 成立等价于 对任意 成立．
由 得 ． ……………………………………6分
①当 时， ．
此时 在 上单调递增．
故 ，符合题意． ……………………………………8分
②当 时， ．
当 变化时 的变化情况如下表：
单调递减极小值单调递增
由此可得，在 上， ．
依题意， ，又 ．
综合①，②得，实数 的取值范围是 ．………………………10分
【（方法二）由 对任意 成立等价于 恒成立
当 ， 恒成立，则 ，又 ，所以此时 ………6分
当 ， 恒成立，则 ，令 ，则 ，……7分
易知 为 上偶函数，考察 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，所以 ……………………………9分
综上 …………………………………………………………10分】
(3) ，
，
…………………………………………………………11分
，
……………………………………12分
由此得， ………………………………………13分
故 ． …………………………14分