广东实验中学2012―2013学年（上）高二级期末考试
文 科 数 学
本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D． ．
2．设实数 和 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．“ 为锐角”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
5．设双曲线 的渐近线方程为 ，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6． 在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列四条叙述：
①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）
②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）
③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）
④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）
其中正确的个数是（ ）
A．3B．2 C．1D．0
7．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为 真命题的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
8．若 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．设 , 是椭圆 : =1( > >0)的左、右焦点, 为直线 上一点,
△ 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆 的左焦点为 , 点 在椭圆上, 若线段 的中点 在 轴上, 则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
11．若圆心在 轴上、半径为 的圆 位于 轴左侧，且与直线 相切，则圆 的方程是 .
12．某三棱锥 的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 。
13．抛物线 上一点 到焦点F的距离
则 的坐标是 .
三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
14．(本题满分10分) 已知圆 方程为： .
（1）直线 过点 ，且与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程;
（2）过圆 上一动点 作平行于 轴(与 轴不重合)的直线 ，设 与 轴的交点为 ，若向量 ，求动点 的轨迹方程.
15．(本题满分12分) 设椭圆 经过点 ，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点 且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
16．（本小题满分13分） 如图，已知 ⊥平面 ，
∥ ， =2，且 是 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证：平面 ⊥平面 ；
(3) 求此多面体的体积．
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5 分，共10分．
17．下列有关命题的说法正确有_________________________(填写序号)
① “若 ”的逆命题为真；
② 命题“若 ”的逆否命题为：“若 ”;
③ “命题 为真”是“命题 为真”的必要不充分条件；
④ 对于常数 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的充分不必要条件.
18．在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ,若直线 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆 有公共点,则 的最大值是____.
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（本小题满分14分）如图,等边 三角形 的边长为 ,且其三个顶点均在抛物线 上.
（1）求抛物线 的方程;
（2）设圆M过 ，且圆心M在抛物线 上，EG是圆M在 轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长 是否为定值？为什么？
20．(本小题满分12分) 已知数列 的前n项和 ，求证数列 是等比数列的充要条件是
21．(本小题满分14分) 一动圆与圆 外切，与圆 内切.
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）设过圆心 的直线 与轨迹 相交于 、 两点，请问 （ 为圆 的圆心）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 的方程，若不存在，请说明理由.
高二文科数学解答：
一．选择题
12345678910
DDBACCDACA
11. ；12. ；13. ； 17.②③; 18.
14.解（Ⅰ）①当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两个交点坐标为 和 ，其距离为 满足题意 ……… 1分
②若直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，即
设圆心到此直线的距离为 ，则 ，得 …………3分
∴ ， ，故所求直线方程为 综上所述，所求直线为 或 …………5 分
（Ⅱ）设点 的坐标为 （ ）， 点坐标为
则 点坐标是 …7分 ∵ ，
∴ 即 ， …………9分
∵ ，∴ ∴ 点的轨迹方程是 10分
15. (1)将 (0,4)代入椭圆C的方程得16b2＝1，∴b＝4. …… 2分
又e＝ca＝35得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5，…… 5分
∴C的方程为x225＋y216＝1. …… 6分
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，…… 7分
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2 )，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，
得x225＋x－3225＝1 …… 8分
，即x2－3x－8＝0. …… 10分 解得x1＝3－412，x2＝3＋412，
∴AB的中点坐标x＝x1＋x22＝32，y＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65.
即中点为32，－65. …… 12分
16.解：（1）取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点， ∴FP∥DE，且FP=
又AB∥DE，且AB= ∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…2分
又∵AF 平面BCE，BP ∴AF∥平面BCE …………4分
（2）∵ ，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD …………5分
∵AB⊥平面ACD，DE//AB ∴DE⊥平面ACD 又AF 平面ACD
∴DE⊥AF 又AF⊥CD，CD∩DE=D ∴AF⊥平面CDE …………7分
又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE
又∵BP 平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE ………9分
(3)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，
，………10分
等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高………12分
…………13分
19.解： (1)由题意知 ………3分
抛物线 方程是 ………5分
（2）设圆的圆心为 ，∵圆 过D ，
∴圆的方程为 ……………………………7分
令 得：
设圆与 轴的两交点分别为 ，
方法1：不妨设 ，由求根公式得
， ………9分
∴
又∵点 在抛物线 上，∴ ，………10分
∴ ，即 ＝4---------------------------------13分
∴当 运动时，弦长 为定值4…………………………………………………14分
〔方法2：∵ ，
∴
又∵点 在抛物线 上，∴ ， ∴
∴当 运动时，弦长 为定值4〕
20.证明：①必要性：
a1=S1=p+q. …………1分
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴ =p…………3分
若{an}为等比数列，则 =p ∴ =p, …………5分
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1…………6分
②充分性
当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1…………7分
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1) …………9分
=p为常数…………11分
∴q=－1时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1. …12分
21.解：（1）设动圆圆心为 ，半径为 ．
由题意，得 ， ， ． …………3分
由椭圆定义知 在以 为焦点的椭圆上，且 ，
．
动圆圆心M的轨迹 的方程为 ． ……6分
(2) 设 、 ( ),
则 , ……8分
由 ,得 ,
解得 , , …………10分
∴ ,令 ,则 ,且 ,
有 ,令 ,
在 上单调递增,有 , ,
此时 , ∴存在直线 , 的面积最大值为3. …………14分