蚌埠一中2011-2012学年高二数学下册期中试题(理)及答案

蚌埠二中2011―2012学年度第二学期期中考试
高二数学试题(理科)
(考试时间:120分钟 试卷分值:150分)

注意:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效,不予记分。

第Ⅰ卷(选择题,共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的A、B、C、D
的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卡
1.命题“若x2+y2=0,则x,y全为0”的否命题是 ( )
A.若x2+y2≠0,则x,y全不为0.B.若x2+y2≠0,则x,y不全为0.
C.若x2+y2≠0,则x,y至少有一个为0.D.若x,y不全为0,则x2+y2≠0.
2. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.若 为真命题,则 均为真命题
B.命题“ , ”的否定是“ , ”
C. “ ”是“方程 表示椭圆”的充要条件
D.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件
3. 已知曲线 上过点(2,8)的切线方程为 ,则实数 的值为( )
A. -1    B. 1   C. -2    D. 2
4.给出下列命题:
①直线 的方向向量为 ,直线 的方向向量为 则
②直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 , 则 .
③平面 的法向量分别为 ,则 .
④平面 经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量 是平面 的法向量,则u+t=1.其中真命题的序号是 ( )
A.②③ B.①④ C.③④ D.①②
5.设命题p: R, , 则命题p为真命题的充分非必要条件的是( )
A. B. C. D.


6.已知 ,点 在 所在的平面内运动且保持 ,则 的最大值和最小值分别是 ( )
A. 和   B.10和2     C.5和1 D.6和4
7.若点 在平面 内,且满足 (点 为空间任意一点),则抛物线 的准线方程是 ( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
A.[1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)
9.如图是抛物线形拱桥,当水面在图中位置时,拱顶离水面2米,
水面宽4米.水下降1米后,水面宽为(  )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.已知抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为 ,且 与 轴垂直,则椭圆的离心率为 ( )
A.     B.     C.     D.
第Ⅱ卷(填空与解答题,共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。请将答案直接填在题中横线上。
11.已知 , ( 两两互相垂直),那么 = ,
12.设椭圆C1的离心率为 ,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为 _____________。
13.直线l: 与椭圆 相交A,B两点,点C是椭圆上的动点,则 面积的最大值为 。
14. 过点 且被点 平分的双曲线 的弦所在直线方程为 _.
15. 为过抛物线 焦点 的一条弦,设 ,以下结论正确的是____________________,
① 且 ② 的最小值为 ③以 为直径的圆与 轴相切;
三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出说明文字、演算式、证明步骤。
16.(本小题满分12分) 设命题 :方程 表示的图象是双曲线;命题 : , .求使“ 且 ”为真命题时,实数 的取值范围.

17.(本小题满分12分)三棱柱 中, 分别是 、 上的点,
且 , 。设 , , .
(Ⅰ)试用 表示向量 ;
(Ⅱ)若 , ,
,求MN的长.。

18. (本小题共12分)已知抛物线 的顶点在坐标原点,它的准线经过双曲线 : 的一个焦点 且垂直于 的两个焦点所在的轴,若抛物线 与双曲线 的一个交点是 .
(Ⅰ)求抛物线 的方程及其焦点 的坐标; (Ⅱ)求双曲线 的方程及其离心率 .

19.(本小题满分13分)已知平面四边形 的对角线 交于点 , ,且 , , .现沿对角线 将三角形 翻折,使得平面 平面 .翻折后:
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)记 分别为 的中点.
①求二面角 大小的余弦值; ②求点 到平面 的距离

20.(本小题满分13分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点M(1, 32)到它的两焦点F1,F2的距离之和为4,A、B分别是它的左顶点和上顶点。
(Ⅰ)求此椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点,求|PQ|的最大值及此时直线l的方程。

21.(本小题共13分)
已知抛物线 直线 过抛物线的焦点 且与该抛物线交于 、 两点(点A在第一象限)
(Ⅰ)若 ,求直线 的方程;
(Ⅱ)过点 的抛物线的切线与直线 交于点 ,求证: 。


蚌埠二中2011―2012学年度第二学期期中考试
高二数学(理科)参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
12345678910
BDBBBCACDB


第II卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分. )
11、-65 12、 13、 14、 15、①②③

三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16. 实数 的取值范围是 .

17.(Ⅰ)

(Ⅱ)

, 。

18. (Ⅰ)抛物线 的方程为 于是焦点
(Ⅱ)抛物线 的准线方程为 ,所以, 而双曲线 的另一个焦点为 ,于是
因此, 又因为 ,所以 .于是,双曲线 的方程 为 因此,双曲线 的离心 .

19、(Ⅰ)证明略
(II)①二面角 大小的余弦值为
,
②点 到平面 的距离为 .


20. 解:(Ⅰ)由题意得2a=4,∴a=2将M(1, 32)代入椭圆方程得:14+94b2=1
∴b2=3,因此所求椭圆方程为x24+y23=1其离心率e=ca=12
(Ⅱ)由题意,直线l的斜率k=kAB=3?00?(?2)=32
∴设l的方程为y=32x+m 由y=32x+mx24+y23=1得6x2+43mx+4m2-12=0
由=48m2-24(4m2-12)>0得6<m<6,x1+x2=233m,x1x2=2m2-63
∴|PQ|=(1+34)[(x1+x2)2-4x1x2]=73(6m2)∴当m=0时,|PQ|max=14
∴l的方程为y=32x∴|PQ|的最大值为14,此时l的方程为y=32x

21. (Ⅰ)解:设 , 若 轴,则 不适合
故设 ,代入抛物线方程得
由 得 直线 的方程为
(Ⅱ)当 时 切线的方程: 得