13-14学年度第二学期期末模拟试题
高二数学理科
一、填空题：
1．将M点的极坐标 化为直角坐标为 ;.
2. 若a∈R，且 为纯虚数，则 的值为_________；
3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是____________;
4. 曲线C1：4. 化为普通方程式为 _________________。
5. 某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，
假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为___________；
6.甲乙两队进行排球比赛, 采用五局三胜制, 已知每局比赛中甲胜的概率为 , 乙胜的概率为 ,则在甲队以2:0领先的情况下, 乙队获胜的概率为_________；
7.下列命题中正确的个数是 .
(1)．过点（a，π）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρ=-
(2)．过点（a， ）且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρ=
(3)．两圆ρ=cosθ与ρ=sinθ的圆心距为
8、用数学归纳法证明“ ”（ ）时，从 “ ”时，左边应增添的式子____________
A． B． C． D．
9. 有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞；1名既会唱歌也会跳舞；
现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法_________种；
10.若对于任意的实数 ，有 ，则 的值为________；
X4a9
P0.50.1b
11.在十进制中 ，那么在5进制中数码2004折合成十进制为______________;
12. 已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，
则a的值为______；V(X)＝______；
13. 已知 的展开式中的常数项为 ， 是以 为周期的偶函数，且当 时， ，若在区间 内，函数 有4个零点，则实数 的取值范围是___________；
14．若函数式 表示 的各位上的数字之和，如 所以 ，记 ，
则
二、解答题：
15.(14分） 已知 的展开式中前三项的系数成等差数列．
设 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的最大值.
16.（14分）已知曲线 ： （ 为参数）， ： （ 为参数）.
（1）将 ， 的方程化为普通方程；
（2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 距离的最小值.
17.（14分） 曲线 的极坐标方程是 , 的极坐标方程为 ，点 的极坐标是 .
(1)求曲线 上的动点 到点 距离的最大值；
(2)求 在它所在的平面内绕点 旋转一周而形成图形的面积.
18（16分）某国际旅行社现有翻译11人，其中有5人只会英语，4人只会日语，
另2人既会英语有会日语，现从这11人中选4人当英语翻译，再从
其余人从4人当日语翻译，共有多少种不同的安排方法？
19、(16分)已知 等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为 .
（1）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；
（2）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为 元，该同学决定按 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用 的分布列及数学期望.
20．(16分)已知 为正整数，
(1)证明：当 时， ；
（2）对于 ，已知 求证: ；
（3）求出满足等式 的所有正整数 ．
13-14学年度第二学期期末模拟试题
高二数学理科参考答案
一、填空题：
1. 1. 2. 3 3. ; 4. 假设三内角都大于60度 5. 6. 7. 3个； 8. ; 9. 15; 10. －6 11. 254 12. 7；5.61 13. 14. 8
二、解答题：
15. 解：（1）由题设，得 ， 即 ，解得n＝8，n＝1（舍）
,令
（2）在等式的两边取 ,得
（3）设第r＋1的系数最大，则 即 解得r＝2或r＝3．
所以 系数最大值为 ．
16. 解：（1） .…………………6分
（2）当 时， ，故 ，
为直线 ，M到 的距离 ，
所以 取得最小值 .…………………14分
17.解：(1)方程 表示圆心在 ,半径为 的圆,所以 到点 距离的最大值为
(2)设 是曲线C上的任意一点，则 ，由余弦定理，得
当 时， 有最大值为 。将点A（2，0）代入曲线C的极坐标方程是满足的，
知点A在曲线C上，所以曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心， 为半径的圆，其面积为 .
19.（1）因为该同学通过各校考试的概率均为 ，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为 .
（2）设该同学共参加了 次考试的概率为 （ ）.
∵ ， ∴所以该同学参加考试所需费用 的分布列如下：
2
∴ ，
令 , …（1）
则 , …（2）
由（1）-（2）得 ，
所以 ，
所以
(元). Ks5u
20．第（1）小题共5分；第（2）小题共5分；第（3）小题共6分
解法1：（1）证：用数学归纳法证明：
（?）当 时，原不等式成立；当 时，左边 ，右边 ，
因为 ，所以左边 右边，原不等式成立；………………2分
（?）假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时，
， ，于是在不等式 两边同乘以 得
，
所以 ．即当 时，不等式也成立．
综合（?）（?）知，对一切正整数 ，不等式都成立．………………5分
（2）证：当 时，由（Ⅰ）得： ，
（令 易知 ）……7分
于是 ， ．…10分
(3)解：由（Ⅱ）知，当 时，
，
．………………12分
即 ．即当 时，不存在满足该等式的正整数 ．
故只需要讨论 的情形：
当 时， ，等式不成立；
当 时， ，等式成立；
当 时， ，等式成立；
当 时， 为偶数， 为奇数，故 ，等式不成立；
当 时，同 的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的 只有 ．…………………………16分
解法2：（1）证：当 或 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当 ，且 时， ， ． ①
（?）当 时，左边 ，右边 ，因为 ，所以 ，即左边 右边，不等式①成立；
（?）假设当 时，不等式①成立，即 ，则当 时，
因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．
于是在不等式 两边同乘以 得
，
所以 ．即当 时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（2）证：当 ， 时， ， ，
而由（Ⅰ）， ，
．
（3）解：假设存在正整数 使等式 成立，
即有 ． ②
又由（Ⅱ）可得
，与②式矛盾．
故当 时，不存在满足该等式的正整数 ．
下同解法1．