模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z＝3－i，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z＝3－i在复平面内对应的点为(3，－1)，故选D.
【答案】 D
2．对a，b∈R＋，a＋b≥2ab，大前提
x＋1x≥2x•1x，小前提
所以x＋1x≥2.结论
以上推理过程中错误的为( )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．无错误
【解析】 小前提错误，应满足x>0.
【答案】 B
3．复数z＝－1＋2i，则z的虚部为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 由z＝－1＋2i，得z＝－1－2i，故z的虚部是－2.
【答案】 D
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图1所示：
图1
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
【解析】 第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.
【答案】 C
5．(2013•山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为
( )
图2
A．0.2,0.2 B．0.2,0.8
C．0.8,0.2 D．0.8,0.8
【解析】 由程序框图可知：当a＝－1.2时，∵a＜0，
∴a＝－1.2＋1＝－0.2，a＜0，
a＝－0.2＋1＝0.8，a＞0.∵0.8＜1，输出a＝0.8.
当a＝1.2时，∵a≥1，∴a＝1.2－1＝0.2.
∵0.2＜1，输出a＝0.2.
【答案】 C
6．计算函数y＝－1， x>0，0， x＝0，1， x<0值的流程图如图3所示，则①②③的填充正确的是( )
图3
A．①y＝0 ②x＝0？ ③y＝1
B．①y＝0 ②x<0？ ③y＝1
C．①y＝－1 ②x<0？ ③y＝0
D．①y＝－1 ②x＝0？ ③y＝0
【解析】 ∵当x>0时，y＝－1，故①为y＝－1，
∵当x<0时，y＝1，故②为x<0，
当x＝0时，y＝0，故③为y＝0.
【答案】 C
7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为( )
A.89 B．0.8
C．0.72 D.98
【解析】 设A＝{种子发芽}，AB＝{种子发芽，又成活为幼苗}，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)•P(A)＝0.9×0.8＝0.72.
【答案】 C
8．(2013•湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确．
【答案】 D
9．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是( )
图4
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交
A．①②③④ B．①④②③
C．①③②④ D．②①④③
【解析】 由平面内两条直线位置关系的分类填写．
【答案】 C
10．甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B、A与B、A与B、A与B中，满足相互独立的有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
【解析】 事件A，B为相互独立事件，同时A与B，A与B，A与B都是相互独立的．
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．(2013•湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
【解析】 (2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
【答案】 －2＋3i
12．在平面直角坐标系中，以点(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点(x0，y0，z0)为球心，半径为r的球面的方程为________．
【答案】 (x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2
13．(2013•商洛高二检测)已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为______________，…，推广到第n个等式为__________________．(注意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)
【解析】 根据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果．
【答案】 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5
1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1•n2＝(－1)n＋1•(1＋2＋3＋…＋n)
14．已知等式□3×6 528＝3□×8 256中“□”表示的是同一个一位数字．算法框图(如图5所示)表示的就是求等式中“□”表示的数字的算法，请将算法框图补充完整．其中①处应填______，②处应填______．
图5
【解析】 ①处应填“y＝x？”，因为y＝x成立时，则输出i，否则指向②，并转入循环，因此②应具有计数功能，故应填“i＝i＋1”．
【答案】 y＝x？ i＝i＋1
15．给出下面的数表序列：
图6
其中表n(n＝1,2,3)有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为an，例如a2＝5，a3＝17，a4＝49.则
(1)a5＝________；
(2)数列{an}的通项an＝________.
【解析】 (1)a5＝129，(2)依题意，an＝1×1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1，利用错位相减法可得an＝(n－1)×2n＋1.
【答案】 (1)129 (2)(n－1)×2n＋1
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2013•临汾检测)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：
采桑不采桑合计
患者人数181230
健康人数57883
合计2390113
利用2×2列联表的独立性检验估计患桑毛虫皮炎病与采桑是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？
【解】 a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，
∴a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.
∴χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d
＝113×18×78－5×12230×83×23×90≈39.6>6.635.
∴有99%的把握认为患桑毛虫皮炎病与采桑有关系，认为两者有关系会犯错误的概率是1%.
17．(本小题满分12分)某市居民2009～2013年货币收入x与购买商品支出Y的统计资料如下表所示：
年份20092010201120122013
货币收入x4042444750
购买商品支出Y3334363941
图7
(1)画出散点图，试判断x与Y是否具有相关关系；
(2)已知b＝0.842，a＝－0.943，请写出Y对x的回归直线方程，并估计货币收入为52(亿元)时，购买商品支出大致为多少亿元？
【解】 (1)由某市居民货币收入预报支出，因此选取收入为自变量x，支出为因变量Y.作散点图，从图中可看出x与Y具有相关关系．
(2)Y对x的回归直线方程为y＝0.842x－0.943，
货币收入为52(亿元)时，即x＝52时，y＝42.841，所以购买商品支出大致为43亿元．
18．(本小题满分12分)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
【证明】 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd≥1矛盾．
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
19．(本小题满分13分)已知方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实数根，求实数m的值．
【解】 设方程的实根为x0，则x20－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
因为x0，m∈R，所以方程变形为(x20＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
由复数相等得x20＋x0＋3m＝0，2x0＋1＝0，解得x0＝－12，m＝112，
故m＝112.
20．(本小题满分13分)(2013•南昌检测)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在每一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
【解】 记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，
“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，
则A＝A3A4＋B3B4.
由于各局比赛结果相互独立，
故P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4
＝0.52.
(2)设“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5)
＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6
＝0.648.
21．(本小题满分13分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan(x＋π4)＝1＋tan x1－tan x；
(2)设x∈R，a≠0，f(x)是非零函数，且函数f(x＋a)＝1＋fx1－fx，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
【解】 (1)证明 tan(x＋π4)＝tan π4＋tan x1－tan π4tan x＝1＋tan x1－tan x.
(2)猜想：f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．
∵f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝1＋fx＋a1－fx＋a＝1＋1＋fx1－fx1－1＋fx1－fx＝－1fx，
∴f(x＋4a)＝－1fx＋2a＝－1－1fx＝f(x)，
∴f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．