2012--2013学年度第一学期期末抽测
高二数学试题(文科)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题一第20题，共20题)。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题纸一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号 用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷
及答题纸的规定位置。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位
置作答一律无效。
4．如需作图，须用28铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考 公式：
球的表面积为 ，其中 表示球的半径．
锥体的体积 ，其中 为底面积， 为高．
一、填空题：本大题共14小题。每小题5分。共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上
1．命题“ R， ≥ ”的否定是 ．
2．直线 的倾斜角为 ．
3．抛物线 的焦点 坐标是 ．
4．双曲线 的渐近线方程是 ．
5．已知球 的半径 为3，则球 的表面积为 ．
6．若一个正三棱锥的高为5，底面边长为6，则这个正三棱锥的体积为 ．
7．函数 在点(1， )处的切线方程为 ．
8．若直线 与直线 平行，则实数 的值等于 ．
9．已知圆 与圆 相内切，则实数 的值为 ．
10．已知直线 和圆 相交于 ， 两点，则线段 的垂直平分线的方程是 。
11．已知两条直线 和 都过点 (2，3)，则过两点 ， 的直线的方程为 .
12．已知 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上的动点， 是一定点，则 的最大值为 ．
13．如图，已知 (常数 )，以 为直径的圆有一内接梯形 ，且 ，若椭圆以 ， 为 焦点，且过 ， 两点，则当梯形 的周长最大时，椭圆的离心率为 ．
14．设函数 ， ，若 的图象与 的图象有且仅有两个不同的公共点，则当 时，实数 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，在正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点．
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ．
16．(本小题满分l4分)
已知圆 经过三点 ， ， ．
(1)求圆 的方程；
(2)求过点 且被圆 截得弦长为4的直线的方程．
17．(本小 题满分14分)
已知 ，命题 ≤ ，命题 ≤ ≤ ．
(1)若 是 的必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ，“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围．
18．(本小题满分l6分)
现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．
方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图(2 )，若从长方形 的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼? 。
19．(本小题满分l6分)
在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，
离心率为 ，直线 为椭圆的一条准线．
(1)求椭圆的方程；
(2)若 ， ， 为椭圆上位于 轴上方的动点，直线 ，
分别交直线 于点 ， ．
(i)当直线 的斜率为 时，求 的面积；
(ii)求证：对任意的动点 ， 为定值．
20．(本小题满分l6分)
已知函数， 在点 处的切线方程为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)若过点 可作出曲线 的三条不同的切线，求实数 的取值范围；
(3)若对任意 ，均存在 ，使得 ≤ ，试求实数 的
取值范围．
2012―2013学年度第一学期期末抽测
高二数学（文）参考答案与评分标准
一、填空题：
1． ， 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题：
15．（1）连结 ，在 中， 、 分别 为棱 、 的中点，故 // ，
又 // ，所以 // ， ……………2分
又 平面 ， 平面 ，
所以直线 ∥平面 ． ………………6分
（2）在正方体 中，底面
是正方形，则 ， ……………8分
又 平面 ， 平面 ，
则 ，………10分
又 ， 平 面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ． ……………14分
16．（1）设圆 的方程为 ，则 …3分
解得 ， ， ， ……………………………………6分
所以圆 的方程为 ． ……………………………………7分
（2）①若直线斜率不存在，直线方程为 ，经检验符合题意 ； ………9分
②若直线斜率存在，设直线斜率为 ，则直线方程为 ，
即 ，则 ，解得 ， ……………12分
所以直线方程为 ．
综上可知，直线方程为 和 ． …………………14分
17．（1） ， ， ……………………………2分
， ，
是 的必要条件， 是 的充分条件，
， ………………………5分
， ，解得 ． ………………………7分
（2） ， ，
“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题， 命题 ， 一真一假，
当 真 假时， ，解得 ， …………………………10分
当 假 真时， ，解得 或 ， ………13分
综上可得，实数 的取值范围 或 ．…………………………14分
18．方案一：设小正方形的边长为 ，由题意得 ， ，
所以铁皮盒的体积为 ． …………………………4分
方案二：设底面正方形的边长为 ，长方体的高为 ，
由题意得 ，即 ，
所以铁皮盒体积 ， ……………………10分
，令 ，解得 或 （舍），
当 时， ；当 时， ，所以函数 在 时取得最大值 ．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．…………………………………………………………………15分
答：方案一铁皮盒的体积为 ；方案二铁皮盒体积的最大值为 ，将余下材料剪拼成四个长40cm宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．16分
19．（1）由题意知， ，解得 ，故椭圆的方程为 ．4分
（2）由（1）知 ， ，
设 ， ，
则 ，直线 的方程为
，令 ，
得 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
（i）当直线 的斜率为 时，有 ，消去 并整理得， ，解得 或 （舍）， …………………10分
所以 的面积
． ………………12分
（ii） ，
所以 ．
所以对任意的动点 ， 为定值，该定值为 ． ………………16分
20． （1） ，由题意得，切点为 ，则 ，解得 ． ……………………………………………………………………………4分
（2）设切点为 ，则切线斜率为 ， ，
所以切线方程为 ，
即 ， ………………6分
又切线过点 ，代入并整理得 ，
由题意，方程 有两个不同的非零实根， ……………8分
所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ． …………………10分
（3）由（1）知， ，则不等式 即 ，由题意可知， 的最小值应小于或等于 对任意 恒成立， ……………12分
令 ，则 ，令 ，解得 ，列表如下：
极小值
因此， 的最小值为 ． …………14分
所以 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，令 ，解得 ，列表如下：
极大值
因此， 的最大值为 ，所以 ． …………16分