高二数学上册课后强化检测试题（附答案与解析）

3.1.4

一、选择题
1．已知α为锐角，且sinα∶sinα2＝8∶5，则cosα的值为(　　)
A.45　　　
B.825　　　
C.1225　　　
D.725
[答案]　D
[解析]　由已知sinα?sinα2＝8?5，即(2sinα2•cosα2)?sinα2＝8?5得cosα2＝45，则cosα＝2cos2α2－1＝2×1625－1＝725.
2.2－sin22＋cos4的值是(　　)
A．sin2
B．－cos2
C.3cos2
D．－3cos2
[答案]　D
[解析]　原式＝1＋cos22＋2cos22－1＝3cos22
＝－3cos2.
3．若tanθ＝13，则cos2θ＋12sin2θ的值是(　　)
A．－65
B．－45
C.45
D.65
[答案]　D
[解析]　∵tanθ＝13，
∴原式＝cos2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝1＋tanθ1＋tan2θ＝1＋131＋19＝65.
4．若sinα＋cosα＝－2，则tanα＋1tanα＝(　　)
A．1
B．2
C．－1
D．－2
[答案]　B
[解析]　法一：sinα＋cosα＝－2⇒sin(α＋π4)＝－1，
⇒α＝2kπ＋5π4，k∈Z，
∴tanα＝1，∴原式＝1＋11＝2.
法二：由sinα＋cosα＝－2两边平方得，
sinαcosα＝12，
∴原式＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.
5．cosπ5•cos2π5的值是(　　)
A．4
B.14
C．2
D.12
[答案]　B
[解析]　原式＝sinπ5cosπ5cos2π5sinπ5
＝14sin4π5sinπ5＝14.
6．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是(　　)
A.459
B.259
C．－459
D．－259
[答案]　A
[解析]　令底角为α，则顶角β＝π－2α，
∵cosα＝23，∴sinα＝53，
∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α
＝2sinαcosα＝2×53×23＝459.
7．若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α的值是(　　)
A．－79
B．－13
C.13
D.79
[答案]　A
[解析]　∵sinπ6－α＝cosπ2－π6－α
＝cosπ3＋α＝13，
∴cos2π3＋2α＝2cos2π3＋α－1
＝2×132－1＝－79.
8．函数y＝cosx1－sinx的单调递增区间是(　　)
A.2kπ－32π，2kπ＋π2(k∈Z)
B.2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)
C.2kπ－3π2，2kπ－π2(k∈Z)
D.kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)
[答案]　A
[解析]　y＝cosx1－sinx＝cos2x2－sin2x2cosx2－sinx22
＝cosx2＋sinx2cosx2－sinx2＝1＋tanx21－tanx2
＝tanπ4＋x2，
当π4＋x2∈kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z时，函数为增函数，此时x∈2kπ－3π2，2kπ＋π2，k∈Z，故选A.
9．(2010•福建省福州市)已知sin10°＝a，则sin70°等于(　　)
A．1－2a2
B．1＋2a2
C．1－a2
D．a2－1
[答案]　A
[解析]　由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.
10．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈－π2，π2，则tanα＋β2的值是(　　)
A.12
B．－2
C.43
D.12或－2
[答案]　B
[解析]　∵tanα＋tanβ＝－4a<0tanα•tanβ＝3a＋1>0，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα•tanβ＝43，
∵tanα<0，tanβ<0，∴－π2<α<0－π2<β<0，
∴－π<α＋β<0，∴－π2<α＋β2<0，
∵tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝43，∴tanα＋β2＝－2，故选B.
二、填空题
11．若sinπ2＋α＝35，则cos2α＝________.
[答案]　－725
[解析]　∵sinπ2＋α＝35，∴cosα＝35，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×925－1＝－725.
12．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．
[答案]　第四象限
[解析]　∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，
∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．
13．如果tanπ4＋α＝2010，那么1cos2α＋tan2α＝______.
[答案]　2010
[解析]　∵tanπ4＋α＝2010，
∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝(sinα＋cosα)2cos2α－sin2α
＝sinα＋cosαcosα－sinα＝tanα＋11－tanα＝tanπ4＋α＝2010.
14．已知sinθ2＋cosθ2＝12，则cos2θ＝__________.
[答案]　－18
[解析]　∵(sinθ2＋cosθ2)2＝14，∴sinθ＝－34，
∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×916＝－18.
三、解答题
15．化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.
[解析]　原式＝cos2α2tanπ4－αsin2π4＋α
＝sinπ2＋2α2•sinπ4－αcosπ4－α•sin2π4＋α
＝2sinπ4＋αcosπ4＋α2•cosπ4＋αsinπ4＋α•sin2π4＋α＝1.
16．已知cosx＋π4＝35且17π12[解析]　∵cosx＋π4＝35，5π3∴sinx＋π4＝－1－352＝－45，
tanx＋π4＝－43.
又sin2x＝－cos2x＋π4
＝1－2cos2x＋π4＝1－2•352＝725.
∴原式＝sin2x1＋2sin2x2sinxcosx1－tanx
＝sin2x•1＋tanx1－tanx＝sin2x•tanπ4＋tanx1－tanπ4tanx
＝sin2x•tanx＋π4＝725×－43＝－2875.
17．若π<α<3π2，化简1＋sinα1＋cosα－1－cosα
＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.
[解析]　∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，
∴cosα2<0，sinα2>0.
∴原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2
＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2
＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2
＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.
18．已知sinα＋sinβ＝12，cosα＋cosβ＝13，求cos2α－β2的值．
[解析]　将sinα＋sinβ＝12与cosα＋cosβ＝13的两边分别平方得，
∴sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝14①
cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝19②
①＋②得：2＋2cos(α－β)＝1336.
∴cos(α－β)＝－5972，
∴2cos2α－β2－1＝－5972，∴cos2α－β2＝13144.