同步检测训练
一、选择题
1．一批长4000 mm的条形钢材，需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率为( )
A．99.75% B．99.65%
C．94.85% D．95.70%
解析：设长为518 mm的x段，698 mm的y段，由题意可得x，y满足的约束条件是518x＋698y≤4000，x≥0，y≥0，x，y∈N*，
目标函数z＝518x＋698y.由可行域得最优解为(5,2)，所以最大利用率为5×518＋698×24000＝99.65%，故选B.
答案：B
2．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85
C．90 D．95
解析：画出不等式组5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11表示的平面区域，如下图所示．
由x＝112，5x－11y＝－22，解得A(112，92)．
而由题意知x和y必须是正整数，
直线y＝－x＋z10向下平移经过的第一个整点为(5,4)．
z＝10x＋10y取得最大值90，故选C.
答案：C
3．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的软件和磁盘，其中软件至少买3片，磁盘至少买2盘，则不同的选购方式有( )
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析：由60x＋70y≤500x，y∈N＋x≥3y≥2得6x＋7y≤50x，y∈N＋x≥3y≥2(其中x为软件数，y为磁盘数)
当x＝3时7y≤32，y可取2,3,4共三种．
当x＝4时7y≤26，y可取2,3共两种．
当x＝5时7y≤20，y可取2共一种．
当x＝6时7y≤14，y可取2共一种．
当x≥7时不合题意．
故共7种选购方式．
答案：C
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
解析：本题主要考查线性规划知识以及对题意的理解、归纳等能力，设投资甲为x万元，投资乙为y万元，获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y，且x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5.
作出不等式组表示的区域，如下图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0并将l0向上平移到过A点时z取得最大值，即∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，故选B.
答案：B
5．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A.a1x＋a2y≥c1b1x＋b2y≥c2x≥0y≥0 B.a1x＋b1y≤c1a2x＋b2y≤c2x≥0y≥0
C.a1x＋a2y≤c1b1x＋b2y≤c2x≥0y≥0 D.a1x＋a2y＝c1b1x＋b2y＝c2x≥0y≥0
解析：生产甲、乙产品所需A原料之和应小于c1，故a1x＋a2y≤c1；同理生产甲、乙产品所需B原料之和应小于c2，故b1x＋b2y≤c2；当然x、y应是正数，故选C.
答案：C
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析：由题知15辆车分配在甲、乙两地销售要获得最大利润，通过分配试算比较，当甲地销售10辆，乙地销售5辆，即获得最大利润为5.06×10－0.15×100＋2×5＝45.6(万元)，故选B.
答案：B
7．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )
货物体积每箱(m3)重量每箱50 kg利润每箱(百元)
甲5220
乙4510
托运限制2413
A.4,1 B．3,2
C．1,4 D．2,4
解析：设甲、乙两种货物各托运x，y箱时，能获得最大利润，由题意知：5x＋4y≤24，2x＋5y≤13，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.
利润目标函数y＝20x＋10y，如上图：可行域为阴影部分ABOC，且A(4,1)，经分析当l0平移到l，即过A(4,1)时y最大，故选A.
答案：A
8．有一批钢管，长度都是4000 mm，要截成500 mm与600 mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比必须大于13才可配套，则需截取500 mm,600 mm各多少根才最合理( )
A．2,5 B．3,4
C．5,2 D．6,1
解析：设截得500 mm的毛坯x根，600 mm的毛坯y根，产品总量为z，根据题意得不等式组
500x＋600y≤4000，xy>13，x>0，y>0，z＝x＋y(x，y∈N)．
即5x＋6y≤40，3x－y>0，x>0，y>0，z＝x＋y(x，y∈N)．
作出以上不等式组所表示的平面区域，如上图，即可行域，并标出整点，作直线l：x＋y＝0，作一组平行于l的平行线x＋y＝z.当x＝2，y＝5或x＝3，y＝4或x＝4，y＝3或x＝5，y＝2或x＝6，y＝1时都使z取最大值zmax＝7，但考虑用料最大，就是损耗最小的实际情况，在产品最多的条件下，损耗最小即为最优解，故x＝2，y＝5符合题意．
因此截取500 mm的2根，600 mm的5根最合理，故选A.
答案：A
9．(2009•陕西卷)若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
解析：如下图，约束条件的平面区域为三角形，而目标函数z＝ax＋2y即y＝－a2x＋z2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1<－a2<2⇒－4
答案：B
10．(2009•四川)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：设甲、乙两种产品各生产x、y吨，获得利润为z，故本题即已知约束条件3x＋y≤132x＋3y≤18x≥0y≥0，求目标函数z＝5x＋3y的最大值．不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示．作直线l0：5x＋3y＝0，易知当平移l0至点(3,4)时，z取得最大值为5×3＋3×4＝27.故选D.
答案：D
二、填空题
11．某工厂两种不同原料可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克，若采用乙种原料每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克，今预算每日总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产________千克产品．
解析：设采用甲种原料x吨，乙种原料y吨，得约束条件为：
1000x＋1500y≤6000，500x＋400y≤2000，x≥0，y≥0⇔2x＋3y－12≤0，5x＋4y－20≤0，x≥0，y≥0.
目标函数为z＝90x＋100y，
∴zmax＝90×127＋100×207＝440.
故此工厂每日最多可生产440千克产品．
答案：440
12．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B.
解析：设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x，y元，则2x＋y>84x＋5y<22，两式分别乘22、8得12x－18y>0，即2x－3y>0，故A>B.
答案：>
13．欲用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买________才行？
解析：设桌、椅分别买x、y张，
∴50x＋20y≤2000，y≥x，y≤1.5x，x∈N，y∈N.
z＝x＋y，由x＝y，50x＋20y＝2000解得A(2007，2007)．
由50x＋20y＝2000，y＝1.5x，解得B(25，752)．
∴满足约束条件的可行域是以A(2007，2007)，B(25，752)，O(0,0)为顶点的三角形区域，如图中所示阴影部分，
由图形直观可知目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为(25，752)，但注意到x∈N，y∈N，故取y＝37，所以买桌子25张，椅子37张是满足题设的最好选择．
答案：桌子25张，椅子37张
14．(2009•山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
分析：由题目可获取以下主要信息：
①甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知；
②甲、乙两种设备的租赁费已知；
③生产A类、B类产品数量已知．
解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，
由题意得5x＋6y≥5010x＋20y≥140x，y≥0且x，y∈N
z＝200x＋300y.
作出下图所示的可行域．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．
又由5x＋6y＝5010x＋20y＝140得A点坐标为(4,5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.
答案：2300
三、解答题
15．有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a的2根，长度为b的3根；按第二种方式切割，可截成长度为a的3根，长度为b的1根．
(1)现需将长度为a的2根与长度为b的1根配成一套，求这两种切割方式应满足的比例；
(2)若长度为a的至少需50根，长度为b的至少需45根，应如何切割可使钢条用量最省？
解析：设按第一种切割方式需x根，按第二种切割方式需y根．
(1)依题意得2x＋3y3x＋y＝21，所以xy＝14.
(2)2x＋3y≥50，3x＋y≥45，x，y∈N，
目标函数z＝x＋y，用可行域中的整点比较得(12,9)，(13,8)使z＝x＋y取最小值21.
16．某工厂生产A、B两种产品，已知制造A产品1 kg需用9 t煤，4 kW•h电，3个劳动力(按工作日计算)；制造B产品1 kg需用4 t煤，5 kW•h电，10个劳动力．又知制造A产品1 kg可获利7万元，制造B产品1 kg可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t，电200 kW•h，劳动力300个．在这种条件下怎样搭配可使工厂获利最多？
解析：设该厂分别生产A、B产品x kg、y kg，利润为z万元，
由题意得约束条件为9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0，
目标函数为z＝7x＋12y，由约束条件表示的平面区域可得最优解为(20,24)，zmax＝428.
17．甲、乙两公司生产同一种产品，但由于设备陈旧，需要更新．经测算对于函数f(x)、g(x)及任意的x≥0，当甲公司投放x万元改造设备时，若乙公司投放改造设备费用小于g(x)万元，则乙公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险；同样，当乙公司投入x万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于f(x)万元，则甲公司有倒闭的风险；否则无倒闭的风险．
(1)请解释f(0)，g(0)的实际意义；
(2)设f(x)＝x＋5，g(x)＝12x＋10，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元？
解析：(1)f(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时，甲公司要避免倒闭，至少要投入f(0)万元的资金；g(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时，乙公司要避免倒闭风险，至少要投入g(0)万元的资金．
(2)设甲公司投放的资金为x万元，乙公司投入的资金为y万元，由题意，甲、乙公司均无倒闭风险，需
y≥x＋5，x≥12y＋10，x≥0，y≥0.双方均无倒闭风险区域如下图所示．
解x－y＋5＝0，2x－y－20＝0，得P(25,30)．
故在均无倒闭的风险的情况下，甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入30万元．
18．某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的广告，每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如下图所示．
作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0，
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
由x＋y＝300，5x＋2y＝900.解得x＝100，y＝200，
∴点M的坐标为(100,200)，
∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．
故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告时，公司的收益最大，最大收益是70万元．