高二数学第二章圆锥曲线与方程7份同步训练题（附答案）

第二章 圆锥曲线与方
2．2　双曲线
2．2.1　双曲线及其标准方程

双基达标　（限时20分钟）
1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)．
A．4 B．5 C．8 D．10
解析　由椭圆的标准方程得a2＝25，a＝5.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案　D
2．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是(　　)．
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
解析　∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.
答案　D
3．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)．
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6解析　由于椭圆焦点在x轴上，
∴a2>a＋6，a＋6>0，即（a＋2）（a－3）>0，a>－6.
⇔a>3或－6答案　D
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．
解析　由已知2a＝8，2c＝215，∴a＝4，c＝15，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆标准方程为y216＋x2＝1.
答案　y216＋x2＝1
5．已知椭圆x220＋y2k＝1的焦距为6，则k的值为________．
解析　由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.
答案　11或29
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知
2a＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.
(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169＋y2144＝1或y2169＋x2144＝1
综合提高　（限时25分钟）
7．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)．
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析　如图，依题意：
|PF1|＋|PF2|＝2a(a>0是常数)．
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.
答案　A
8．设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)．
A．5 B．4 C．3 D．1
解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(25)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|PF1|•|PF2|＝12×2×4＝4，故选B.
答案　B
9．若α∈(0，π2)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
解析　方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为x21sin α＋y21cos α＝1.
∵椭圆的焦点在y轴上，∴1cos α>1sin α>0.
又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0，∴π4<α<π2.
答案　(π4，π2)
10．椭圆x212＋y23＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
解析　依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知x1－32＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程x212＋y23＝1，得y1＝±32，即P点的坐标为(3，±32)，∴|PF2|＝|y1|＝32.
由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝43，
∴|PF1|＝43－|PF2|＝43－32＝732，
即|PF1|＝7|PF2|.
答案　7
11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解　设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，∴F1A→•F2A→＝0，
而F1A→＝(－4＋c，3)，F2A→＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)•(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5，0)，F2(5，0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32
＝10＋90＝410.∴a＝210，
∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.
12．(创新拓展)如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25
内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直
平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解　由题意知，点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.∵A(1，0)，C(－1，0)，
∴点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，
且2a＝5，故a＝52，c＝1，b2＝a2－c2＝254－1＝214.
故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.即4x225＋4y221＝1.