重庆市2014年高二下学期理科数学期末测试卷（含答案）
一、选择题
（1）已知 为虚数单位，则
（A） （B） （C） （D）
（2） 的展开式中 的系数是
（A） （B） （C） （D）
（3）因为指数函数 是增函数，而 是指数函数，所以 是增函数，以上推理错误的是
（A）大前提 （B）小前提 （C）推理形式 （D）以上都错
（4）设随机变量 ，若 ，则
（A） （B） （C） （D）
（5）甲船在早6点至12点之间的任意时刻出发，则它早于8点出发的概率为
（A） （B） （C） （D）
（6）在2014年3月15日，我市物价部门对本市的5家商场的某种商品一天的销售量及价格进行调查，5家商场的价格 元与销售量 件之间的一组数据如下表。由散点图可知，销售量 与价格 之间有较好的线性关系，其线性回归方程为 ，则 的值为
价格
99.51010.511
销售量
1110865
（A） （B） （C） （D）
（7）设 是一个离散型随机变量，其分布列为
01
则 的期望为
（A） （B） （C） （D） 或
（8）已知函数 在 满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是
（A） （B） （C） （D）
（9）用红、黄、蓝三种颜色去涂题（9）图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色不同，且“3、5、7”号数字涂色相同，则符合条件的所有涂法种数为
123
456
789
（A） （B） （C） （D）
（10）已知函数 ，若对任意两个不等的正数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
（11）曲线 在点 处切线的斜率为_______；
（12）已知复数 ，则 __________；
（13）2个女生与2个男生排成一排合影，则恰有一个女生站在两男生之间的排列种数为___；
（14）若对于任意实数 ，有 ，则 ___；
（15）对于大于1的自然数 的三次幂可以用奇数进行以下方式的“分裂”： ， ， ，…仿此，若 的“分裂”中有一个数是135，则 的值为_____.
三、解答题
（16）（本小题满分13分）
已知二项式 展开式中第二项的系数 与第三项的系数 满足： .
(Ⅰ)求 的值；
（Ⅱ）记展开式中二项式系数最大的项为 ，求 的值.
（17）（本小题满分13分）
用数字0、1、3、4、5、8组成没有重复数字的四位数.
(Ⅰ)可以组成多少个不同的四位偶数？
（Ⅱ）可以组成多少个不同的能被5整除的四位数？
（18）（本小题满分13分）
甲袋和乙袋装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中有 个球，乙袋中有 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为 ，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为 .
(Ⅰ)若 ，从甲袋中红球的个数；
（Ⅱ）设 ，若从甲、乙两袋中各自有放回地模球，从甲袋中模1次，从乙袋中摸2次，每次摸出1个球，设 表示摸出红球的总次数，求 的分布列和数学期望.
(19) (本小题满分12分）
数列 满足： ，
(Ⅰ)写出 ，猜想通项公式 ，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：
(20) (本小题满分12分）
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.
(21) (本小题满分12分）
已知函数 ， ，其中 ，且 是函数 的极值点.
(Ⅰ)求实数 的值，并确定实数 的取值范围，使得函数 有两个零点；
（Ⅱ）是否存在这样的直线 ，同时满足：① 是曲线 在点 处的切线；② 与曲线 相切于点 ， ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择
1~5 AAACA 6~10 DCABB
（10）提示： 即
在 上单增，即 恒成立，也就是 恒成立， ，故选B
二、填空
（11） （12） （13） （14） （15）
（15）提示：补充 ， 用掉1个奇数， 用掉2个奇数，依此类推， 用掉m个奇数，而135是第68个奇数，则 且 ，
三、解答
(16)解：（Ⅰ） ， ，
， 或 （舍）
（Ⅱ）由(Ⅰ)得，二项式系数最大项为第六项，则 ，
(17)解：（Ⅰ）偶数个数有
（Ⅱ）被5整除的四位数有
（18）解：（Ⅰ）红球个数为
（Ⅱ） ， ，
，
分布列为
0123
（19）解：（Ⅰ） ，猜想
证明：①当 时， ，猜想成立；
②假设当 时猜想成立，即
那么， ，所以当 时猜想也成立
由①②可知猜想对任意 都成立，即
（Ⅱ）证明：即证
由均值不等式知： ，则
（20）解：（Ⅰ） ，当 时，
当 时， ， 单增；当 时， ， 单减；当 时， ， 单增
（Ⅱ）即 ，而 在 上的最大值为 ，∴ ，即 在 上恒成立，
∵ ，∴ ， 恒成立
令 ，则 ，
，∴ 即 在 上单调递增，
∴
（21）解：（Ⅰ）当 时， ，由题知 ，∴ ，于是 ，∴ 在 上单减，在 上单增，
又 ，∴ 在 上的图象大致为
有两个零点即直线 与函数 的图象有两个交点，由图知，
（Ⅱ） ，∴ 的方程为 ， ，∴ 在点 处的切线方程为 ，即为
由题可得 ，则
令 ，则 ， 在 上单增，在 上单减
， ， ， ，