北京市西城区2014年高二数学下学期期末试卷（含答案文科）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设集合 ，则 ＝（ ）
A. UB. {2，4}C. {1，3，5}D. {1，2，4}
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 是等比数列， ，则公比q等于（ ）
A. B. C. 2D. 4
4. 命题“对任意实数x，都有x>1”的否定是（ ）
A. 对任意实数x，都有x<1 B. 不存在实数x，使x≤1
C. 对任意实数x，都有x≤1 D. 存在实数x，使x≤1
5. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 函数 的图象可能是（ ）
ABCD
8. 设函数 ，则 的极小值点为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知数列 的前n项和 ，那么数列 （ ）
A. 是等差数列但不是等比数列
B. 是等比数列但不是等差数列
C. 既是等差数列又是等比数列
D. 既不是等差数列也不是等比数列
10. 函数 的图象如图所示，且 在 与 处取得极值，给出下列判断：
① ；
② ；
③函数 在区间 上是增函数。
其中正确的判断是（ ）
A. ①③ B. ② C. ②③ D. ①②
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
11. ＝____________。
12. 已知函数 ，则 ＝____________。
13. 若 ，则 的取值范围是____________。
14. 已知函数 是奇函数，且当 时， ，则 ＝____________。
15. 已知函数 则方程 的解为____________；若关于x的方程 有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是____________。
16. 若在区间 上存在实数x使 成立，则a的取值范围是____________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分13分）
已知集合 。
（Ⅰ）求集合 ；
（Ⅱ）若 ，求实数a的取值范围。
18. （本小题满分13分）
已知数列 是公差为－2的等差数列， 是 与 的等比中项。
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前n项和为 ，求 的最大值。
19. （本小题满分13分）
已知一次函数 满足 。
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）求函数 的值域。
20. （本小题满分14分）
已知函数 。
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处切线的斜率；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）当 时，求 在区间 上的最小值。
21. （本小题满分13分）
某商场预计从2013年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似的满足 ，且 ）。该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是
（Ⅰ）写出这种商品2013年第x月的需求量f（x）（单位：件）与x的函数关系式；
（Ⅱ）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2013年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
22. （本小题满分14分）
已知函数 。
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 在区间 上的最小值为e，求k的值。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1. B 2. D 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. D 9. B 10. C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 112. 013. 14. 115.
16.
注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由 ，得 。3分
解不等式 ，得 ，
所以 。6分
所以 ，
所以 。9分
（Ⅱ）因为 ，
所以 11分
解得 。
所以，实数a的取值范围是 。13分
18. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 是 与 的等比中项，
所以 。2分
因为数列 是公差为－2的等差数列，
所以 ，4分
解得 。6分
所以 。8分
（Ⅱ）解 ，即 ，得 ，10分
故数列 的前3项大于零，第4项等于零，以后各项均小于零。
所以，当 或 时， 取得最大值。11分
。
所以 的最大值为12。13分
19. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知，得 ，3分
解得 。
所以函数 的解析式为 。6分
（Ⅱ） 。
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，8分
所以 。10分
当 时，因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，11分
所以 。12分
所以，函数 的值域为 。13分
20. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当 时， ，2分
故曲线 在 处切线的斜率为 。4分
（Ⅱ） 。6分
①当 时，由于 ，故 。
所以， 的单调递减区间为 。8分
②当 时，由 ，得 。
在区间 上， ，在区间 上， 。
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。10分
综上，当 时， 的单调递减区间为 ；当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。11分
（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，
当 ，即 时， 在区间 上的最小值为 ，
。13分
当 ，即 时， 在区间 上的最小值为 ，
。
综上，当 时， 在区间 上的最小值为 ，当 ， 在区间 上的最小值为 。14分
21. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当 时， ，2分
当 ，且 时，
。4分
经验证 符合 。
故2013年第x月的需求量 ，且 ）。5分
（Ⅱ）该商场预计第x月销售该商品的月利润为
7分
即 8分
当 时， ，
令 ，解得 或 （舍去）。
所以，当 时， ；当 时， 。
当 时， 的最大值为 元。10分
当 时， 是减函数，
所以，当 时， 的最大值为 元。12分
综上，该商场2013年第5个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为3125元。
13分
22. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 。3分
当 时， ，函数 在R上是增函数。
当 时，在区间 和 上 ，函数 在R上是增函数。5分
当 时，解 ，得 ，或 。解 ，得 。
所以函数 在区间 和 上是增函数，在区间 上是减函数。
综上，当 时， 是函数 的单调增区间；当 时， 和 是函数 的单调递减区间， 是函数 的单调递减区间。
7分
（Ⅱ）当 时，函数 在R上是增函数，
所以 在区间 上的最小值为 ，
依题意， ，解得 ，符合题意。8分
当 ，即 时，函数 在区间 上是减函数。
所以 在区间 上的最小值为 ，
解 ，得 ，不符合题意。9分
当 ，即 时，函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数。
所以 在区间 上的最小值为 ，10分
解 ，即 ，
设 ，11分
，则在区间 上 ，在区间 上 ，
所以 在区间 上的最小值为 ，12分
又 ，13分
所以 在区间 上无解，
所以 在区间 上无解，14分
综上， 。