2013-2014金山中学高二数学下期末试卷（含答案文科）
本卷共4页，共21题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．若 ，其中 ， 是虚数单位，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ,集合 为函数 的定义域,则 ( ）
A. B. C. D.
3．下列有关命题的说法正确的是 ( )．
A．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”．
B．“ ” 是“ ”的必要不充分条件.
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题.
D．命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”．
4．设 是等差数列 的前 项和，公差 ，若 ，若 ，则正整数 的值为（ ）
A. B. C. D.
5．定义在 上的函数 满足 且 时， 则 （ ）
A. B. C. D.
6．函数 的图像大致是( )
A. B. C. D
7．如图2，某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（ ）
A. B.
C. D.
图2
8．执行如图3所示的程序框图，若输出 ，则框图中①处可以填入（ ）
A. B. C. D.
9．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点， y
点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，
则椭圆的离心率为（ ） F1 O F2 x
A. B. C. D. 图4
10．定义运算 的最大值是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题:本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11-13小题）
11．给出下列等式： ；?
；
，……
由以上等式推出一个一般结论：?
对于 = .
12．已知 、 的取值如下表：
从散点图可以看出 与 线性相关，且回归方程 ,则 .
13．已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是 .
（二）选做题（14、15小题，考生只能从中选做一个小题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线 （ 是参数)被
圆 （ 是参数)截得的弦长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，直线 与圆 相切于 ，
割线 经过圆心 ，弦 于点 ， ，
，则 .
图5
三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本题满分12分）
已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 ，
求 的值.
17．（本题满分12分）
从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了 名学生的成绩得到频率分布直方图如下图所示：
（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分
(平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和)；
（2）若用分层抽样的方法从分数在 和 的学生中共抽取 人，该 人中成绩在 的有几人？
（3）在（2）中抽取的 人中，随机抽取 人， 图6
求分数在 和 各 人的概率．
18．（本题满分14分）
如图，四棱锥 的底面 为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中 ， ,平面 底面 ， 是 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ；
(3)求三棱锥 的体积 .
图7
19．（本题满分14分）
已知椭圆 过 和点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求直线 的方程．
20．（本题满分14分）
已知二次函数 + 的图象通过原点，对称轴为 ， . 是 的导函数，且 .
（1）求 的表达式（含有字母 ）；
（2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式；
（3）在（2）条件下，若 ， ，是否存在自然数 ,使得当 时 恒成立?若存在,求出最小的 ；若不存在,说明理由.
21．（本题满分14分）
已知函数 （ ， ）， ．
（1）求函数 的单调区间,并确定其零点个数；
（2）若 在其定义域内单调递增，求 的取值范围；
（3）证明不等式 （ ）．