一、选择题
1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x• y可表示不同的值的个数是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
【解析】 用分步乘法计数原理，第一步选x有3种方法，第二步选y也有3种方法，共有3×3＝9种方法．
【答案】 D
2．已知集合A?{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个B．3个
C．4个D．5个
【解析】 当集合A中含一个元素时，A＝{1}或{3}；
当集合A中含两个元素时，A＝{1,2}或{1,3}或{2,3}，
∴共有5个集合．
【答案】 D
3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有( )
A．510种B．105种
C．50种D．以上都不对
【解析】 完成这件事可分为10步，即10名乘客全部下车，每名乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为510种．
【答案】 A
4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种B．5种
C．6种D．12种
【解析】 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．
【答案】 C
5．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法( )种
A．756B．56
C．28D．255
【解析】 推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．
【答案】 D
二、填空题
6．一个袋子里装有7张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有8张不同的中国联通手机卡，某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，一共有________种不同的取法．
【解析】 由分步乘法计数原理知，有7×8＝56种不同取法．
【答案】 56
图1－1－1
7．小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内从结点A向结点B可以传递的最大信息量为________．
【解析】 从图形可以看出，从A→B，可以分成这样几种情况，A→D→B，或A→C→B，这两类方法中各自包含的单位时间中通过的信息量分别是3,5，根据分类计数原理知共有3＋5＝8.
【答案】 8
8．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,4,5,6}，若a∈A，b∈B，则方程y＝bax表示的不同直线的条数是________．
【解析】 可知A∩B＝{1,2,4}，∴当a＝b＝1,2,4时，方程表示一条直线，这时ba＝1.当a≠b时，按a的值进行分类：
(1)当a＝1时，b＝2,4,5,6，
则ba＝2,4,5,6，
∴方程y＝bax表示4条不同的直线；
(2)当a＝2时，b＝1,4,5,6，则ba＝12，2，52，3，
∴方程y＝bax也表示4条不同的直线，但与(1)中1条重，应除去1条，变为3条；
(3)当a＝3时，b＝1,2,4,5,6，则ba＝13，23，43，53，2，∴方程y＝bax表示5条不同的直线，但也与(1)中重一条，应除去1条，变为4条；
(4)当a＝4时，b＝1,2,5,6，则ba＝14，12，54，32，∴方程y＝bax表示4条不同的直线，但与(2)中重1条，应除去1条，变为3条．
根据分类加法计数原理，方程y＝bax共表示1＋4＋3＋4＋3＝15条不同直线．
【答案】 15
三、解答题
9．设椭圆x2a2＋y2b2＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．
(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
【解】 (1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．
故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定a，有5种方法，第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表为：
a2345
b11,21,2,31,2,3,4
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
10．从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有2条路，下山有3条路．如果不走山路，由山北绕道有2条路，由山南绕道有3条路．
(1)如果翻山而过，有多少种不同的走法？
(2)如果绕道而行，有多少种不同的走法？
(3)从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
【解】 (1)分两步：
第一步，选一条上山路有2种方法；
第二步，选一条下山路有3种方法．
所以翻山而过，有2×3＝6种不同的走法．
(2)分两类：
第一类：由山北绕道，有2种走法；
第二类：由山南绕道，有3种走法．
所以绕道而行，有2＋3＝5种不同的走法．
(3)分两类：
第一类：翻山而过，有6种走法；
第二类：绕道而行，有5种走法．
所以从甲地到乙地共有6＋5＝11种不同的走法．
11．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，求符合条件的三角形的个数．
【解】 根据题意，a可取的值为1、2、3、…25，
根据三角形的三边关系，有25≤c<25＋a，
当a＝1时，有25≤c<26，则c＝25，有1种情况，
当a＝2时，有25≤c<27，则c＝25、26，有2种情况，
当a＝3时，有25≤c<28，则c＝25、26、27，有3种情况，
当a＝4时，有25≤c<29，则c＝25、26、27、28，有4种情况，
…
当a＝25时，有25≤c<50，则c＝25、26、27、28…49，有25种情况，
则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝251＋252＝325个.