高二数学选修4-5第二章几个重要不等式课时练习题(北师大版含答案)

一、选择题
1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)
A．P≤Q　B．P＜Q
C．P≥Q D．P＞Q
【解析】　 设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，
则|ax＋by|＝|m•n|≤|m||n|
＝ ax2＋by2•a2＋b2
＝ax2＋by2•a＋b＝ax2＋by2，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.
【答案】　A
2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)
A.56　　　B.65　　　　
C.2536　　　　D.3625
【解析】　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)(12＋13)•65
≥65(2x•22＋3y•33)2＝65(x＋y)2＝65.
【答案】　B
3．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为(　　)
A．24　　　B．30　　　　
C．36　　　D．48
【解析】　(x＋y＋z)(1x＋4y＋9z)
≥(x•1x＋y•2y＋z•3z)2＝36，
∴1x＋4y＋9z≥36.
【答案】　C
4．(2012•湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋cx＋y＋z的值为(　　)
A.14 B.13
C.12 　D.34
【解析】　通过等式找出a＋b＋c与x＋y＋z的关系．
由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令x－a＝a，y－b＝b，z－c＝c(或x－a＝b，y－b＝c，z－c＝a)．
则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，
即a＋b＋cx＋y＋z＝12.
【答案】　C
二、填空题
5．函数y＝x＋3－x的最大值为__________．
【解析】　由x、3－x非负且(x)2＋(3－x)2＝3，
所以x＋3－x≤ 2[x2＋3－x2]
＝2×3＝6.
【答案】　6
6．设x，y∈{正实数}，且x＋2y＝8，则9x＋2y的最小值为__________．
【解析】　(x＋2y)(9x＋2y)
＝[(x)2＋(2y)2][(3x)2＋(2y)2]
≥(x•3x＋2y•2y)2＝25，
又x＋2y＝8，
∴9x＋2y≥258.
【答案】　258
7．(2013•湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
【解析】　∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当1a＝12b＝13c，即a＝2，b＝1，c＝23时取等号．
【答案】　12
三、解答题
8．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．
【解析】　由柯西不等式得
(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2，
∵x＋2y＋z＝1，
∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥13.
当且仅当x＝2y＝z＝13，即x＝13，y＝16，z＝13时等号成立．
故x2＋4y2＋z2的最小值为13.
9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．
求证：(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.
【证明】　设m＝(acos θ，bsin θ)，
n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝|acos θ•cos θ＋bsin θ•sin θ|
＝|m•n|≤|m||n|
＝ acos θ2＋bsin θ2•1
＝ a2cos2θ＋b2sin2θ，
∴(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.
10．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.
求证：(a2＋b2＋c2)(1sin2A＋1sin2B＋1sin2C)≥36R2.
【证明】　由三角形中的正弦定理得：
sin A＝a2R，所以1sin2A＝4R2a2，
同理1sin2B＝4R2b2，1sin2C＝4R2c2，
于是由柯西不等式可得
左边＝(a2＋b2＋c2)(4R2a2＋4R2b2＋4R2c2)
≥(a•2Ra＋b•2Rb＋c•2Rc)2＝36R2，
∴原不等式得证．

1．已知函数y＝3x－5＋46－x，则函数的定义域为__________，最大值为__________．
【解析】　函数的定义域为[5,6]，且y＞0，

y＝3x－5＋46－x
≤32＋42×x－52＋6－x2＝5，
当且仅当36－x＝4x－5，
即x＝13425时取等号．
∴ymax＝5.
【答案】　[5,6]　5
2．已知a＋b＋c＝1，且a，b，c是正数，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.
【证明】　左边＝[2(a＋b＋c)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)
≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时取等号，
∴2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.