必修5正、余弦定理应用举例同步测试题（含答案新人教A版）

必修5正、余弦定理应用举例同步测试题（含答案新人教A版）
课时目标
1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．
2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．

1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)

2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为12absin C.

一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为(　　)
A．α>β B．α＝β
C． α<β D．α＋β＝90°
答案　B
2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是(　　)
A．203 m，4033 m
B．103 m,20 3 m
C．10(3－2) m,203 m
D.1523 m，2033 m
答案　A
解析　h甲＝20tan 60°＝203(m)．
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．
3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)

A．30＋303 m B．30＋153m
C．15＋303m D．15＋33m
答案　A
解析　在△PAB中，由正弦定理可得
60sin45°－30°＝PBsin 30°，
PB＝60×12sin 15°＝30sin 15°，
h＝PBsin 45°＝(30＋303)m.
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为(　　)
A．2h米 B.2h米
C.3h米 D．22h米

答案　A
解析　如图所示，
BC＝3h，AC＝h，
∴AB＝3h2＋h2＝2h.
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进2003 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是(　　)
A．200 m B．300 m
C．400 m D．1003 m
答案　B
解析　如图所示，600•sin 2θ＝2003•sin 4θ，

∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°，
∴h＝2003•sin 4θ＝300 (m)．
6．平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形面积是(　　)
A．16 B．17.5 C．18 D．18.53
答案　A
解析　设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得：a＝5，b＝4，cos α＝35或a＝4，b＝5，cos α＝35，
∴S▱ABCD＝ab sin α＝16.
二、填空题
7．甲船 在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲 船行驶了________海里．
答案　北偏东30°　3a
解析　

如图所示，设到C点甲船追上乙船，
乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°，
由正弦定理知BCsin∠CAB＝ACsin B，
∴1sin∠CAB＝3sin 120°，
∴sin∠CAB＝12，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB•BCcos 120°
＝a2＋a2－2a2•－12＝3a2，∴AC＝3a.
8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________．
答案　20
解析　设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则
S＝12AB•AC•sin A＝103k2＝103.
∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cos A
＝82＋52－2×8×5×12＝49.
∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20.
9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
答案　27π5
解析　不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6， b＝c＝12，
由余弦定理得：
cos A＝b2＋c2－a22bc＝122＋122－622×12×12＝78，
∴sin A＝ 1－782＝158.
由12(a＋b＋c)•r＝12bcsin A得r＝3155.
∴S内切圆＝πr2＝27π5.
10．某舰艇在A处测得遇 险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏 东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．
答案　23
解析　设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos 120°，
解得t＝23或t＝－512(舍)．
三、解答题
11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.

解　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，
∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得：ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，
即ACsin90°－α＝BCsinα－β，
∴AC＝BCcos αsinα－β
＝hcos αsinα－β.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β
＝hcos αsin βsinα－β.
即山高CD为hcos αsin βsinα－β.
12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．
解　

连接BD，则四边形面积
S＝S△ABD＋S△CBD＝12AB•AD•sin A＋12BC•CD•sin C.
∵A＋ C＝180°，∴sin A＝sin C.
∴S＝12(A B•AD＋BC•CD)•sin A＝16sin A.
由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∴20－16cos A＝52－48cos C.
又co s C＝－cos A，∴cos A＝－12.∴A＝120°.
∴四边形ABCD的面积S＝16sin A＝83.
能力提升
13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m， 于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．

解　作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)，
D E＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)，
EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150(m)．
在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得
cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE•EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.
即∠DEF的余弦值为1665.
14．江岸边有一炮台高30 m，江中 有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．

解　如图所示：

∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°
∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝30tan 30°＝303.
在△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2－2BC•BD•cos 30°＝900，
∴CD＝30，即两船相距30 m.

1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．测量角度就是在三角形内利用正 弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．