第2课时 数列的函数特性
知能目标解读
1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.
2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.
3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.
重点难点点拨
重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.
2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.
难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.
学习方法指导
1.数列的概念与函数概念的联系
(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.
(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.
(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.
2.数列的表示方法
(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.
(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.
(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.
(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.
3.数列的单调性
（1）递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1>an(n∈N+)，那么这个数列叫做递增数列.
（2）递减数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即an+1
（4）摆动数列：一个数列{an}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.?
注意：
(?)有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：
(?)数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算an+1-an，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列an=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断数列{an}是递减数列.
4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：
(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断an+1-an的符号，通常将an+1-an变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.
除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项an的符号(an>0还是an<0)，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.
(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.
知能自主梳理
1.几种数列的概念
（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为 数列， 数列， 数列和 数列.
（2）一般地，一个数列｛an｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列；
（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列；
（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做 数列；
（5）如果数列｛an｝的各项都相等，那么这个数列叫做 数列.
2.数列的递推公式
如果已知数列的 (或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的 与它的
(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
公式.
3.an与Sn的关系
S1 (n=1)
若数列｛an｝的前n项和记为Sn，即Sn=a1+a2+…+an,则an=
(n≥2)
［答案］ 1.(1)递增 递减 摆动 常 （2）an+1>an 递增 (3)an+1
3.Sn-Sn-1
思路方法技巧
命题方向 数列表示法的应用
［例1］ (1)根据数列的通项公式填表：
n12…5……n
an……153…3(3+4n)
(2)画出数列{an}的图像，其中an=3n-1.
［分析］ (1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值.
(2)在直角坐标系下，描出点(n,an).
［解析］ (1)由第n项可知此数列的通项公式为：an=3(4n+3),
所以a1=3×(4×1+3)=21,a2=3×(4×2+3)=33,a5=3×(4×5+3)=69.
令3(4n+3)=153，解得n=12.
故填充完整的表格为：?
n12…5…12…n
an2133…69…153…3(3+4n)
(2)∵an=3n-1，列表：
n1234…
an13927…
在直角坐标系中图像如下：
［说明］ (1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列an=3n-1的图像是函数y=3x-1 (x>0)上的无穷多个孤立的点.
变式应用1 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像.
［解析］ 分别取n=1,2,3,…,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.
命题方向 数列单调性的判断
［例2］ 已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an) =-2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
（2）求证数列{an}是递减数列.
［分析］ （1）已知函数关系式，由条件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于an的方程即可；（2）只需证明an+1-an<0或 >1(an>0)即可.
［解析］ （1）∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
∴2log2an-2-log2an=-2n,an- =-2n,
∴an2+2nan-1=0,解得an=-n± .
∵an>0,∴an= -n.
（2） =
= <1.
即{an}是递减数列.
［说明］ 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较an与an+1大小的常用方法有：①作差法：若an+1-an>0,则数列{an}是递增数列；若an+1-an<0，则数列{an}是递减数列.②作商法：若 >1,则数列{an}是递增数列；若 <1，则数列{an}是递减数列.
变式应用2 写出数列1, , , , ,…的通项公式，并判断它的增减性.
［解析］ 该数列的通项公式为an= ,
∴an+1-an= - = .
∵n∈N+,∴(3n+1)(3n-2)>0,
∴an+1
［例3］ 求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.
［分析］ 由通项公式可以看出an与n构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n为正整数.
［解析］ 由已知an=-2n2+9n+3=-2(n- )2+ .
由于n为正整数,故当n=2时,an取得最大值为13.
所以数列{-2n2+9n+3}的最大值为a2=13.
［说明］ 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.
变式应用3 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
［解析］ （1）由n2-5n+4<0,解得1
∴数列有两项是负数.
（2）∵an=n2-5n+4=（n- ）2- ,可知对称轴方程为n= =2.5.
又∵n∈N＋,∴n=2或3时，an有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.
探索延拓创新
命题方向 数列的实际应用题
［例4］ 在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：该人在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).
［分析］ 根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n∈N+,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解.
［解析］ 设在A公司月工资为an，在B公司月工资为bn，则
问题等价于求cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1 (n∈N+)的最大值.
当n≥2时，cn-cn-1=230-100×1.05n-2;
当cn-cn-1>0,即230-100×1.05n-2>0时，1.05n-2<2.3，得n<19.1.
因此，当2≤n≤19时，cn-1
即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.
［说明］ 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.
变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{an}，满足an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？
［解析］ 由题意知，实质是求数列{an}的最小项.
由于an=2n2-15n+3=2（n- ）2- ，
图像如图所示，由图像知n=4时，a4最小，a4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.
名师辨误做答
［例5］ 已知an=a•（ ）n(a≠0且a为常数)，试判断数列{an}的单调性.
［误解］ ∵an-an-1=a（ ）n-a（ ）n-1=-a（ ）n<0,
∴数列{an}为递减数列.
［辨析］ 错误原因是误认为a>0,其实对非零实数a应分a>0和a<0两种情况讨论.
［正解］ ∵an-an-1=-a（ ）n(n≥2,n∈N*),
∴①当a>0时，an-an-1<0,∴an
②当a<0时，an-an-1>0,∴an>an-1,
∴数列｛an｝是递增数列.
课堂巩固训练
一、选择题
1.已知数列｛an｝,a1=1,an-an-1＝n-1(n≥2)，则a6=（ ）
A.7 B.11 C.16 D.17?
［答案］ C?
［解析］ ∵a1=1,an-an-1=n-1(n≥2)，
∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2,
∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,?
∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,?
∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,?
∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.
2.(2012•济南高二检测)数列{an}中，an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（ ）
A. B.30 C.31 D.32
［答案］ B
［解析］ an=-n2+11n=-（n- ）2+ ,?
∵n∈N+,∴当n=5或6时，an取最大值30，故选B.
3.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到数列{an}满足an+1>an(n∈N+)，则该函数的图像是（ ）
［答案］ A
［解析］ 由关系式an+1=f(an)得到数列{an}满足an+1>an,可得f(an)>an,即f(x)>x.故要使该函数y=f(x)图像上任一点（x,y）都满足y>x,图像必在直线y=x的上方，所以A正确.
说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.
二、填空题
4.已知f(1)=2,f(n+1)= (n∈N+),则f(4)= .
［答案］
［解析］ ∵f(1)=2,f(n+1)= (n∈N＋),?
∴f(2)= = ,
f(3)= = = ,
f(4)= = = .
5.已知数列{an}中，an=an+m(a<0,n∈N＋)满足a1=2,a2=4,则a3= .
［答案］ 2?
2=a+m a=2 a=-1
［解析］ ∵a1=2,a2=4,?∴ , ∴ （舍去）或 ,
4=a2+m m=0 m=3
∴a3=(-1) 3+3=2.
三、解答题
6.证明数列｛ ｝是递减数列.?
［证明］ 令an= ，
∴an+1-an= -
= - ?
=- <0,?
∴an+1
一、选择题
1.已知数列{an}满足an+1-an-3=0，则数列{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定
［答案］ A?
［解析］ 由条件得an+1-an=3>0可知an+1>an，
所以数列{an}是递增数列.
2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项为（ ） ?
A.5 B.11 C.10或11 D.36
［答案］ D
［解析］ ∵an=-n2+10n+11=-(n-5) 2+36,
∴当n=5时，an取最大值36.
3.数列｛an｝中，a1=0，以后各项由公式a1•a2•a3•…•an＝n2给出，则a3+a5等于（ ）
A. B. C. D.
［答案］ C?
［解析］ ∵a1•a2•a3•…•an=n2,?
∴a1•a2•a3=9,a1•a2=4,∴a3＝ .?
同理a5= ,∴a3+a5= + = .
4.已知数列{an}的通项公式an=lg1536-(n-1)lg2，则使得an<0成立的最小正整数n的值为（ ）
A.11 B.13 C.15 D.12?
［答案］ D?
［解析］ lg1536-lg2n-1<0,lg1536
5.已知数列{an}中，a1=1,a2=3，an=an-1+ (n≥3)，则a5=（ ）
A. B. C.4 D.5?
［答案］ A?
［解析］ a3=a2+ =3+1=4.
a4=a3+ =4+ = .
a5=a4+ = + = .
6.在数列{an}中，a1=1,an•an-1=an-1+(-1) n(n≥2)，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
［答案］ C
［解析］ ∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a3= ,
又a3a4=a3+(-1) 4,∴a4=3,?
∵a4a5=a4+(-1) 5=2,∴a5= ,?
∴ = = .
7.已知Sk表示数列的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1 (k∈N+)，那么此数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
［答案］ C
［解析］ ∵ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1，
∴Sk=0(k∈N+).?
可知此数列每一项均为0，
即an=0是常数列.
8.已知数列{an}的通项公式为an=（ ）n-1［（ ）n-1-1］，则关于an的最大项，最小项叙述正确的是（ ）
A.最大项为a1,最小项为a3
B.最大项为a1,最小项不存在
C.最大项不存在，最小项为a3
D.最大项为a1，最小项为a4
［答案］ A?
［解析］ 令t=（ ）n-1，则它在N+上递减且0
二、填空题
9.已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12（n∈N+），则
（1）这个数列的第四项是 ；?
（2）65是这个数列的第 项；?
（3）这个数列从第 项起以后各项为正数.
［答案］ －12 11 7
［解析］ (1)a4=42-4×4-12＝-12.
(2)令65＝n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,?
∴n=11或n=-7(舍去).?
故65是这个数列的第11项.?
（3）令n2-4n-12>0,得n>6或n<2.?
∴这个数列从第7项起各项为正数.
10.已知数列{an}的通项an= (a、b、c都是正实数)，则an与an+1的大小关系是 .
［答案］ an+1>an
［解析］ ∵a,b,c均为实数，f(x)= = 在(0,+∞)上是增函数，故数列an= 在n∈N+时为递增数列，∴an
［答案］ λ>-3
［解析］ 由｛an｝为递增数列，得an+1-an=(n+1) 2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立，
即λ>-2n-1在n≥1时恒成立，?
令f(n)=-2n-1,f(n) max=-3.
只需λ>f(n) max=-3即可.
12.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值；(4)-70是该数列中的一项.?
其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上）
［答案］ (2)(4)?
［解析］ 令-2n2+13n>0，得0
三、解答题
13.已知数列1，2， ， ， ，….
（1）写出这个数列的一个通项公式an;
（2）判断数列｛an｝的增减性.?
［解析］ （1）数列1，2， ， ， ，….可变为 ， ， ， ， ，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n对应，而分子比序号n的3倍少2，?∴an= .
(2)∵an= =3- ,
∴an+1=3- ,?
∴an+1-an=3- -3+ = - = >0,?∴an+1>an.故数列｛an｝为递增数列.
14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.
(1)an=(-1) n+2;
(2)an= .
［解析］ (1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.?
(2)a1=2,a2= ,a3= ,a4= ,a5= .图像如图2.?
15.已知数列｛an｝,a1=2,an+1=2an，写出数列的前4项，猜想an,并加以证明.
［证明］ 由a1=2,an+1=2an,得
a2=2a1=4=22,a3=2a2=2•22=23,?
a4=2a3=2•23=24.?
猜想an=2n(n∈N+).?
证明如下：?
由a1=2,an+1=2an,?
得 = =…= = =2.?
∴an= • … • •a1=2•2…2•2＝2n.
16.已知函数f(x)= ,设f(n)=an(n∈N+).求证： ≤an<1.
［解析］ 解法一：因为an-1= -1=- <0,?
an- = - ＝ ≥0,?
所以 ≤an<1.
解法二：an= = =1- <1,?
an+1-an= -
=
= .?
由n∈N+得an+1-an>0，即an+1>an,
所以数列{an}是递增数列.?
所以an的最小值为a1= ,即an≥ .
所以 ≤an<1.