函数及其表示、解析式（学生学案）
知识结构：
1．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.
2．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
3．分段函数与复合函数
①如果一个函数在定义域的不同子集中 因 对应关系 不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出 解析式 再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。
②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层 函数，g(x)叫做 内层 函数。
基础训练：
1．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．
A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x B．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)
C．f(u)＝ ，g(v)＝ D．f(x)＝()2，g(x)＝
2．设函数 ，则 ＝________．
3.设集合 ， ，从 到 有四种对应如图所示：
其中能表示为 到 的函数关系的有_____ ____．
4.已知函数 是一次函数，且 ， ,则 __ __．
5.设函数 ， ，则 _________； __________．
6.设函数 ， ,则 ___________； ____； ____．
7．（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ．
上述三个对应__________________是 到 的映射．
例题选讲：
例1：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：
(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|； (2)A=N,B=N?，f:x→|x-2|； (3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.
例2：设有函数组：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ．其中表示同一个函数的有_________
例3：(1)已知f＝lg x，求f(x)；
（2）已知函数 ，求 ；
(3)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．
(4)已知f(x)＋ 2f()＝2x＋1，求f(x)．
例4
例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出 的函数解析式．
例5．矩形 的长 ，宽 ，动点 、 分别在 、 上，且 ，（1）将 的面积 表示为 的函数 ，求函数 的解析式；
（2）求 的最大值．
巩固作业：
A组：
一、选择题：
1．下列函数中，与函数 相同的函数是 （ ）
2．已知集合 ，映射 ，在 作用下点 的象是 ，则集合 （ ）
二、填空题：
3．给定映射 ，点 的原象是 _______ ．
4．设有函数组：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一个函数的有___ ___．
5．已知 ，且 ，则m等于________．
6．已知a，b为常数，若 ， ，则 _______．
第8题
7.设f(x)＝ ，则f[f( )]＝_____________．
8.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
三、解答题：
9. 已知函数 与 分别由下表给出：
(1)求 的值； (2)若 2时，求 的值；
10.下列从M到N的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？
(1)M={直线Ax+By+C=0}，N=R，f1:求直线Ax+By+C=0的斜率;
(2)M={直线Ax+By+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直线Ax+By+C=0的倾斜角;
(3)当M=N=R，f3:求M中每个元素的正切；
(4)M=N={x|x≥0}，f4:求M中每个元素的算术平方根.
11．（1）已知 ，求 ；
（2）已知 ，求 ；
（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
（4）已知 满足 ，求 ．
（5）已知 ，求 的解析式
12.已知二次函数 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
B组：
一、选择题：
1．(2010・陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )．
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．(2011・辽宁)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )．
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
二、填空题：
3． (2011・江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
4. 函数 ，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定 ， ，给出下列四个命题：
①若 ，则 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则
其中真命题的序号有____ __．
5. 设集合 对任意实数x恒成立}，则下列结论中：
①P Q ；②Q P；③P=Q；④P Q= ．其中正确结论的序号有______ ______．
三、解答题：
6.已知函数 与 的图像关于点 对称，求 的解析式．
7.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．
8.（1）设 ，求函数 的解析式；（2）已知 ，求函数 的解析式．