2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲要求
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．
2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
5．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推 导空间两点间的距离公式．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有三种：____、__ __、____.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac>0⇔ ，＝0⇔ ，<0⇔ .
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：
d＜r⇔____，
d＝r⇔____，
d＞r⇔____.
(2)圆的切线方程：
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________．
注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为______________．
经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上点P(x0，y0)的切线方程为__________．
(3)直线与圆相 交：
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝______，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．
2．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_____、_____、_____、_____、_____.
(2)判断圆与圆的位置关系常用方法：
①几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径为r1，r2(r1≠r2)，则|O1O2|＞r1＋r2⇔____；|O1O2|＝r1＋r2⇔____；|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2⇔____；|O1O2|＝|r1－r2|⇔____；|O1O2|＜|r1－r2|⇔____.
②代数法：
方程组x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
有两组不同的实数解⇔两圆____；
有两组相同的实数解⇔两圆____；
无实数解⇔两圆相离或内含．
3．在空间直角坐标系中，O叫做坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系：即伸开右手，使拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，中指指向______轴的正方向．也可这样建立坐标系：令z轴的正方向竖直向上，先确定x轴的正方向，再将其按逆时针方向旋转90°就是y轴的正方向．
4．空间点的坐标
设点P(x，y，z)为空间坐标系中的一点，则(1)关于原点的对称点是______；(2)关于x轴的对称点是______；(3)关于y轴的对称点是______；(4)关于z轴的对称点是______；(5)关于xOy坐标平面的对称点是______；(6)关于yOz坐标平面的对称点是______；(7)关于xOz坐标平面的对称点是______．
5．空间两点间的距离
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝__________.
基础自测
1．在下列直线中，与圆x2＋y2＋23x－2y＋3＝0相切的直线是( )．
A．x＝0 B．y＝0
C．x－y＝0 D．x＋y＝0
2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( )．
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
3．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0有两个不同的公共点，则k的取值范围是( )．
A．(－∞，－1) B．(－1,1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
4．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
5．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝__________.
6．已知A(x,2,3)，B(5,4,7)，且|AB|＝6，则x的值为__________．
思维拓展
1．在判断直线与圆相交时，当直线方程和圆的方程都含有字母时，如何判断？
提示：若给出的方程都含有字母，利用代数法和几何法有时比较麻烦，这时只要说明直线过圆内的定点即可．
2．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示：①首先判断点与圆的位置关系，若点在圆上，该点即为切点，则切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．②若求出的切线条数与判断不一致，则可能漏掉了切线斜率不存在的情况了．
一、直线与圆的位置关系
【例1】点M(a，b)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的一点，则直线ax＋by＝r2与圆的交点个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．需要讨论确定
方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法：代数法与几何法．由于几何法一般比代数法计算量小，简便快捷，所以更容易被人接受．同时，由于它们的几何性质非常明显 ，所以利用数形结合，并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便．
请做[针对训练]4
二、直线与圆相交问题
【例2－1】过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )．
A．3 B．2 C．6 D．23
【例2－2】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P且被圆C截得的弦长为43，求l的方程．
方法提炼直线与圆相交求弦长有两种方法：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式l＝1＋k2•|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋k2•Δ|a|.其中a为一元二次方程中的二次项系数．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.
代数法计算量较大，我们一般选用几何法．
请做[针对训练]1
三、圆的切线问题
【例3】从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线方程．
方法提炼求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．
请做[针对训练]5
四、圆与圆的位置关系
【例4－1】已知圆C1： x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
(1)圆C1与圆C2外切；
(2)圆C1与圆C2内含．
【例4－2】已知圆C的圆心 在直线x－y－4＝0上，并且通过两圆C1：x2＋y2－ 4x－3＝0和C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，
(1)求圆C的方程；
(2)求两圆C1和C2相交弦所在直线的方程．
方法提炼1．判断两圆的位置关系，通常是用几何法，从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手．如果用代数法，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，但有时不能得到准确结论．
2．若所求圆过两圆的交点，则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程C1＋λC2＝0(λ≠－1)．
3．利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程．
请做[针对训练]2
五、空间直角坐标系
【例5－1】在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与B的距离相等，则M的坐标是__________．
【例5－2】求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B，C的坐标，以及B，C两点间的距离．
方法提炼求某点关于某轴的对称点时，“关于谁对称谁不变”，如点(x，y，z)关于x轴的对称点是(x，－y，－z)；求某点关于某平面的对称点时，“缺哪个变哪个”，如点(x，y，z)关于平面xOy的对称点是(x，y，－z)；点(x，y，z)关于原点的对称点是(－x，－y，－z)．
请做[针对训练]3
考情分析
通过分析近几年的高考试题，可以看到对于本节内容，主要是考查直线与圆的位置关系，以选择题、填空题为主，题目难度适中，着重于基础知识、基本方法的考查．整个命题过程主要侧重以下几点：(1)直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的重点，特别是直线与圆的位置关系；(2)圆中几个重要的度量关系．在直线与圆的位置关系中，弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形是解决问题的核心；在切线问题中，切线长、半径、圆外的点与圆心的连线构成的直角三角形是解决切线问题的载体．
针对训练
1．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长 为23，则a＝________.
3．已知在空间中有△ABC，其中A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则△ABC的面积等于__________．
4．已知圆x2 ＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
5．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，如图所示，求光线l所在直线的方程．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)相切 相交 相离 ①相交 相切 相离 ②相交 相切 相离
(2)x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 x0x＋y0y＋D•x0＋x2＋E•y＋y02＋F＝0 (3)d2＋l22
2．(1)相离 外切 相交 内切 内含
①相离 外切 相交 内切 内含 ②相交 相切
3．x y z
4．(－x，－y，－z) (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z) (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z)
5．(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2
基础自测
1．B 解析：将圆的方程化为标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝1，分别结合图形及通过求解圆心到直线距离与半径的关系易得B选项正确(A，B选项均通过作图可直观判断)．
2．B 解析：两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.
∵|O1O2|＝1＝r2－r1，∴两圆内切．
3．D 解析：由题意知，圆心C(1,1)到直线l的距离d＝|k－1－2k＋2|k2＋1＜2，解得k≠－1，故k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
4．x2＋y2＝2 解析：圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝|－2|12＋12＝2.
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
5．±147 解析：由已知可求出圆心O到直线l的距离d＝2，即|3k|1＋k2＝2，解得k＝±147.
6．1或9 解析：由空间两点间的距离公式，得(x－5)2＋(2－4)2＋(3－7)2＝6，
即(x－5)2＝16，解得x＝1或x＝9.
考点探究突破
【例1】A 解析：由题意知a2＋b2＜r2，
所以圆心(0,0)到直线ax＋by－r2＝0的距离d＝r2a2＋b2＞r，
即直线与圆相离，无交点．
【例2－1】D 解析：直线方程为y＝3x，圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝4.
圆心(0,2)，半径长r＝2.
圆心到直线y＝3x的距离d＝1.
则弦长为2r2－d2＝23.
【例2－2】解：圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心(－2,6)，半径长r＝4.
又直线l被圆截得的弦长为43，
所以圆心C到直线l的距离d＝42－(23)2＝2.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，此时符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为 y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，
此时l的方程为34x－y＋5＝0，即3x－4y＋20＝0.故所求直线方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
【例3】解：当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋ 3－2k＝0.
∵圆心为(1,1)，半径长r＝1，
∴|k－1＋3－2k|k2＋(－1)2＝1，∴k＝34.
∴所求切线方程为y－3＝34(x－2)，
即3x－4y＋6＝0.
当切线斜率不存在时，因为切线过点P(2,3)，且与x轴垂直，此时切线的方程为x＝2.
【例4－1】解：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1与C2外切，则有(m＋1)2＋(m＋2)2＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内含，则有(m＋1)2＋(m＋2)2＜3－2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＜1，m2＋3m＋2＜0，
解得－2＜m＜－1.
∴当m＝－5，或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当－2＜m＜－1时，圆C1与圆C2内含．
【例4－2】解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点，
故设此圆的方程为x2＋y2－4x－3＋λ(x2＋y2－4y－3)＝0，(λ≠－1，λ∈R)，即(1＋λ)(x2＋y2)－4x－4λy－3λ－3＝0，即x2＋y2－4x1＋λ－4λy1＋λ－3＝0，圆心为21＋λ，2λ1＋λ.
由于圆心在直线x－y－4＝0上，
∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－13，
所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－3＝0.
(2)将圆C1和圆C2的方程相减，得x－y＝0，此即相交弦所在直线的方程．
【例5－1】(0，－1,0) 解析：设M(0，y,0)，由(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，
解得y＝－1， 故M(0，－1,0)．
【例5－2】解：易知B(1，－2,1)，C(1,2,1)．
所以|BC|＝
(1－1)2＋(－2－2)2＋(1－1)2＝4.
演练巩固提升
针对训练
1．2x－y＝0 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1.
设直线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离为d＝|k－2|1＋k2，故有|k－2|1＋k2＝0，解得k＝2.故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
2．1 解析：依题，画出两圆位置如下图，公共弦为AB，交y轴于点C，连接OA，则|OA|＝2.两圆方程相减，得2ay＝2，解得y＝1a，
∴|OC|＝1a.
又公共弦长为23，∴|AC|＝3.
于是，由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2，即1a2＝22－(3)2，
整理得a2＝1，又a＞0，∴a＝1.
3．92 解析：根据空间中两点间的距离公式可得：
|AB|＝(1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2＝3，
|BC|＝(－1－0)2＋(－1－0)2＋(－1＋5)2＝32
|AC|＝(1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2＝3.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，故其面积S＝12|AB||AC|＝12×3×3＝92.
4．解：方法一：圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离d＝|b|2，圆的半径长r＝2.
(1)d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
(2)d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共点；
(3)d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离，没有公共点．
方法二：把直线y＝x＋b与圆的方程x2＋y2＝2联立，即y＝x＋b，x2＋y2＝2，消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0.
再利用△＞0，△＝0，△＜0，分别确定b的取值，结论同“方法一”．
5．解法一：设入射光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)．因为点A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)，所以反射光线所在直线经过点A′.
又∵光线的入射角等于反射角，
∴反射光线所在直线的方程为
kx＋y＋3k＋3＝0.
∵反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，
∴|2k＋2＋3k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－34，或k＝－43.∴入射光线l所在的直线方程为y－3＝－34(x＋3)，或y－3＝－43(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0.
解法二：圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴的对称圆C′的方程为x2＋y2－4x＋4y＋7＝0.
因入射光线经x轴反射后与圆C相切，则入射光线所在 直线与圆C′相切．
设l：y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋3＝0.
∵圆C′的圆心(2，－2)到l的距离与半径长相等，∴|2k＋2＋3k＋3|k2＋1＝1，
∴k＝－34，或k＝－43.
∴入射光线所在直线方程为
3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0.