教案12 解三角形（1）
一、课前检测
1.设函数 （Ⅰ）求函数 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设 为 的三个内角，若 ， ，且 为锐角，求 的值.
解：（Ⅰ）
……4分
……5分
所以函数 的最大值为 ,最小正周期为 . 7分
（Ⅱ） ，所以， ， 9分
因为 为锐角, 所以 …10分
又因为在 中， ，所以 ， 所以……11分
13分
2.已知函数 的图象如图所示.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，求函数 的单调递增区间.
解：（Ⅰ）由图可知 , ，………2分
又由 得， ，又 ，得
， …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： …6分
因为 …9分
所以， ，即 .……12分
故函数 的单调增区间为 .……13分
3.已知 为锐角，且 .
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求 的值.
解：（Ⅰ） ，…………2分
所以 ， ，
所以 .……………5分
（Ⅱ）
.……8分
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，………10分
又 为锐角，所以 ，
所以 .………12分
二、知识梳理
（一).三角形中的各种关系
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．
1．角与角关系：A+B+C = π，由A＝π－（B＋C）可得：
1）sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．
2） ．有： ， ．
2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，
a－b < c，b－c < a，c－a > b．
3．边与角关系：
1）正弦定理
变式有：① ；
② ；
③ ；
④ 。
正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题.
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2）余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．
注：余弦定理是勾股定理的推广.
变式有：cosA= ；cosB= ；cosC= .
余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
3）射影定理： a＝b•cosC＋c•cosB，
b＝a•cosC＋c•cosA，
c＝a•cosB＋c•cosA．
（二）面积公式（1） （ 分别表示a、b、c边上的高）.
（2） .
(3) .
（三）已知 时三角形解的个数的判定：
三、典型例题分析
例1 在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，求角A、C及边c．
解：A1＝60° C1＝75° c1＝
A2＝120° C2＝15° c2＝
变式训练1 (1) 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
解：B 提示：利用余弦定理
（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）
A. B.
C. D.
解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解
（3）在△ABC中，已知 ， ，则 的值为（ ）
A B C 或 D
解：A 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角
（4）若钝角三角形三边长为 、 、 ，则 的取值范围是 ．
解： 提示：由 可得
（5）在△ABC中， = ．
解： 提示：由面积公式可求得 ，由余弦定理可求得
（6）在 中， ，求 .
答案：
例2 在 中，已知 ，试判断 的形状.
答案：等腰三角形或直角三角形
变式训练2 在 中，若 ，则 必定是（ D ）
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
变式训练3 在 中，若 ，试判断 的形状。 答案：等腰三角形或直角三角形
变式训练4 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
解：sinA＝2sinBcosC
sin(B＋C)＝2sinBcosC
sin(B－C)＝0 B＝C
sin2A＝sin2B＋sin2C a2＝b2＋c2
∠A＝90°
∴ △ABC是等腰直角三角形。
变式训练5 在△ABC中，sinA= ，判断这个三角形的形状.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
a= ，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
例3 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.
解法一
由 得
所以 即
因为 所以 ，从而
由 知 从而 .
由
即
由此得 所以
解法二：由
由 、 ，所以 即
由 得
所以
即 因为 ，所以
由 从而 ，知B+2C= 不合要求.
再由 ，得 所以
变式训练6 已知△ABC中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为 .
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
解：（1）由2 （sin2A－sin2C）=（a－b）•sinB得
2 （ － ）=（a－b） .
又∵R= ，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC= = .
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S= absinC= × ab=2 sinAsinB=2 sinAsin（120°－A）
=2 sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+ sin2A
= sin2A－ cos2A+ = sin（2A－30°）+ .
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax= .
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．
2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．