学案21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)
其变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ba，角φ称为辅助角．
自我检测
1．(2010•福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( )
A.12B.33C.22D.32
2．已知cosα－π6＋sin α＝435，则sinα＋7π6的值是 ( )
A．－235B.235C．－45D.45
3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 ( )
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2011•台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( )
A.π3，π2B.π3，π
C.π3，4π3D.π3，3π2
5．(2011•广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值为( )
A．1B.3C．3D．9
探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)
例1 求值：
(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3•cos(θ＋15°)．
变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；
(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．
探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例2 已知0<β<π4<α<3π4，cosπ4－α＝35，
sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．
变式迁移2 (2011•广州模拟)已知tanπ4＋α＝2，tan β＝12.
(1)求tan α的值；
(2)求sinα＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cosα＋β的值．
探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sin α的值； (2)求β的值．
变式迁移3 (2011•岳阳模拟)若sin A＝55，sin B＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B的值．
转化与化归思想的应用
例 (12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝255.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．
【答题模板】
解 (1)∵|a－b|＝255，∴a2－2a•b＋b2＝45.[2分]
又∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝b2＝1，
a•b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]
故cos(α－β)＝a2＋b2－452＝2－452＝35.[6分]
(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分]
又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[9分]
故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×1213＋35×－513＝3365.[12分]
【突破思维障碍】
本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.
【易错点剖析】
|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．
1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．
2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．
3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011•佛山模拟)已知sinα＋π3＋sin α＝－435，则cosα＋2π3等于 ( )
A．－45B．－35C.35D.45
2．已知cosα＋π6－sin α＝233，则sinα－7π6的值是 ( )
A．－233B.233C．－23D.23
3．(2011•宁波月考)已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3等于 ( )
A．－34B．－14C.34D.14
4．函数y＝sin x＋cos x图象的一条对称轴方程是 ( )
A．x＝5π4B．x＝3π4
C．x＝－π4D．x＝－π2
5．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C的大小为 ( )
A.π6B.56π
C.π6或56πD.π3或23π
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010•重庆)如图，
图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi (i＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－
sin α13•sin α2＋α33＝________.
7．设sin α＝35 π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.
8．(2011•惠州月考)已知tan α、tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α、β∈－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．
10．(12分)(2010•四川)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－
sin αsin β；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
（2）已知△ABC的面积S= ，AB→•AC→＝3，且cos B＝35，求cos C.
11．(14分)(2011•济南模拟)设函数f(x)＝a•b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin 2x)，x∈R.
(1)若函数f(x)＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
答案 自主梳理
1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β
(2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β 2.aa2＋b2 ba2＋b2
自我检测
1．A 2.C 3.B 4.C 5.C
课堂活动区
例1 解题导引 在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
解 (1)原式
＝2sin 50°＋sin 10°•1＋3sin 10°cos 10°•2sin 80°
＝2sin 50°＋sin 10°•cos 10°＋3sin 10°cos 10°•2 sin 80°
＝2sin 50°＋2sin 10°•12cos 10°＋32sin 10°cos 10°•2cos 10°
＝2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°•2cos 10°
＝2sin 60°cos 10°•2cos 10°＝22sin 60°
＝22×32＝6.
(2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3•cos[(θ＋45°)－30°]
＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.
变式迁移1 解 (1)原式＝2cos30°－20°－sin 20°sin 70°
＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)•tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝3.
例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．
解 cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35，
∵0<β<π4<α<3π4，
∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π.
∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45，
cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213.
∴sin[π＋(α＋β)]＝sinπ4＋α＋3π4＋β
＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β
＝35×－1213－45×513＝－5665.
∴sin(α＋β)＝5665.
变式迁移2 解 (1)由tanπ4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2，
即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13.
(2)sinα＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cosα＋β
＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
＝－sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝－sinα－βcosα－β
＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β
＝－13－121＋13×12＝17.
例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．
(2)解这类问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．
解 (1)∵tan α2＝12，
∴sin α＝sin2•α2＝2sin α2cos α2
＝2sin α2cos α2sin2α2＋cos2α2＝2tan α21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.
(2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35.
又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.
由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210.
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝7210×35＋210×45＝25250＝22.
由π2<β<π得β＝34π.
(或求cos β＝－22，得β＝34π)
变式迁移3 解 ∵A、B均为钝角且sin A＝55，sin B＝1010，
∴cos A＝－1－sin2A＝－25＝－255，
cos B＝－1－sin2B＝－310＝－31010.
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－255×－31010－55×1010＝22.①
又∵π2
课后练习区
1．D 2.D 3.B 4.A 5.A
6．－12 7.－211 8.3 －23π
9．解 (1)∵β∈π2，π，cos β＝－513，
∴sin β＝1213.…………………………………………………………………………(2分)
又∵0<α<π2，π2<β<π，
∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365，
∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β
＝－ 1－33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)
∴sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝3365•－513－－5665•1213＝35.…………………………………………………………(6分)
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝tanα－β＋tan β1－tanα－βtan β＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝tan α＋tanα－β1－tan αtanα－β＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)
∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，
∴0<α<π4，π2<β<π，
∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)
10．(1)
①证明 如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，
…………………………………………………………………………………………(2分)
由|P1P3|＝|P2P4|及两点间的距离公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，
展开并整理得：
2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分)
②解 由①易得，cosπ2－α＝sin α，
sinπ2－α＝cos α.
sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β
＝cosπ2－α＋－β
＝cosπ2－αcos(－β)－sinπ2－αsin(－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分)
(2)解 由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c.
则S＝12bcsin A＝12，
AB→•AC→＝bccos A＝3>0，
∴A∈0，π2，cos A＝3sin A，……………………………………………………………(9分)
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sin A＝1010，cos A＝31010，
由cos B＝35，得sin B＝45.
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝1010.
……………………………………………………………………………………………(11分)
故cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解 (1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin 2x
＝1＋cos 2x＋3sin 2x＝2sin2x＋π6＋1.
由2sin2x＋π6＋1＝1－3，
得sin2x＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)
∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6.
∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.………………………………………………………………(6分)
(2)－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ (k∈Z)，
即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ (k∈Z)，
得函数单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ (k∈Z)．……………………………………(10分)
列表：
x0π6
π3
π2
2π3
5π6
π
y2320－102
描点连线，得函数图象如图所示：
…………………………………………………………………………………………(14分)