正、余弦定理的综合应用
知识梳理
1.正弦定理： ，其中 为 外接圆的半径。
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：
(1)余弦定理：
； ； .
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.
（2）余弦定理的推论：
； ； .
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
3.三角形面积公式： = =
4.三角形的性质：
①.A+B+C= , ,
,
②.在 中, ＞c , ＜c ; A＞B ＞ ,
A＞B cosA＜cosB, a ＞b A＞B
③.若 为锐角 ，则 ＞ ,B+C ＞ ,A+C ＞ ;
＞ ， ＞ ， ＋ ＞
5.(1)若给出 那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角
一解 两解 一解
若 ，则无解；
（2）当A≥90
若a>b,则一解
若a≤b，则无解
典例剖析
题型一 三角形多解情况的判断
例1.根据下列条件，判断 有没有解？若有解，判断解的个数．
（1） ， ， ，求 ；
（2） ， ， ，求 ；
（3） ， ， ，求 ；
（4） ， ， ，求 ；
（5） ， ， ，求 ．
解：（1）∵ ，∴ 只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵ ，∴ 只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于 为锐角，而 ，即 ，因此仅有一解 ．
（4）由于 为锐角，而 ，即 ，因此有两解，易解得 ．
（5）由于 为锐角，又 ，即 ，
∴ 无解．
评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
题型二 正、余弦定理在函数中的应用
例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为x2 ，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝x2 ，
在△ADB中，cos ADB＝AD2＋BD2－AB22AD•BD ＝42＋（x2 ）2－522×4×x2
在△ADC中，cos ADC＝AD2＋DC2－AC22AD•DC ＝42＋（x2 ）2－322×4×x2
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cos ADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cos ADC.
∴42＋（x2 ）2－522×4×x2 ＝－42＋（x2 ）2－322×4×x2
解得，x＝2
所以，BC边长为2.
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.
备选题 正、余弦定理的综合应用
例3在△ABC中，已知 ，求△ABC的面积.
解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
.
故所求面积
解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得
故所求面积
评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
点击双基
一. 选择题：
1. 在 中， ，则A为（ ）
解：
答案：A
2. 在 （ ）
解： 由题意及正弦定理可得
答案：B
3. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形
解：：长为6的边所对角最大，设它为
则
答案A
4. 在 中，化简 ___________
解：利用余弦定理，得原式
答案：a
5. 在 中， ，则 _______， ________
解：
又
答案：
课外作业
一、选择
1. 在 中， ，则A等于（ ）
解：由余弦定理及已知可得
答案：C
2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60 ,则此三角形的解的情况是（ ）
A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解的个数不确定
解： bsinC=20 >c, 无解
答案：C
3. 在 中， ，则三角形为（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案C
4. 在 中， ，则 是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 正三角形
解：原不等式可变形为
答案：C
5 在△ABC中，若 ，则其面积等于（ ）
A B C D
解：
答案：D
6 在△ABC中，角 均为锐角，且
则△ABC的形状是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
解： 都是锐角，则
答案：C
7.在△ABC中，cos = ,则△ABC的形状是（ ）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
解：原式可化为 = ， cosA+1= cosA=
由余弦定理，得 ， a △ABC为直角三角形
答案：B
8.在△ABC中，A= ，BC=3，则△ABC的周长为（ ）
A. 4 B. 4
C. 6 D. 6
解： ， = =2 =2 , b+c==2 (sinB+sin( ))==2 ( )=6
a+b+c=6
答案：D
二. 填空题：
9. 在 中，已知 ，则 ___________
解：由正弦定理得
设1份为k，则
再由余弦定理得
答案：
10. 在 中，A、B均为锐角，且 ，则 是_________
解：由 得
A、B均为锐角，
而 在 上是增函数
即
答案：钝角三角形
11. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程 的根，则三角形的另一边长为
解：由题意得 或2（舍去）
答案：2
三. 解答题：
12. .根据下列条件，判断 是否有解？有解的做出解答．
① a=7,b=8,A=105 ② a=10,b=20,A=80
③ b=10,c=5 ,C=60 ④ a=2 ,b=6,A=30
解：①a=7,b=8,a
② a=10,b=20,a
③b=10,c=5 , b
B=45 ,A=180 -(B+C)=75
a= = = =5( )
④ a=2 ,b=6,a
由正弦定理得sinB= = =
B=60 或120
当B=60 时，C=90 ,c= = =4
当B=120 时，C=30 ,c= = =2
B=60 ，C=90 ,c=4 或B=120 ，C=30 ,c=2
13：在 中， ， ， ，求 的值和 的面积.
解 ，又
14. 已知 的外接圆半径是 ，且满足条件 。
（1）求角C。
（2）求 面积的最大值。
解：（1）
即
由正弦定理知
即
由余弦定理得
（2）
当A＝B时，S有最大值