轨迹方程
一、复习目标
１、熟悉求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件
２、熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
二．课前热身
1．到顶点 和定直线 的距离之比为 的动点的轨迹方程是
2．直线 与椭圆 交于P、Q两点，已知 过定点（1，0），则弦PQ中点的轨迹方程是
3．已知点P是双曲线 上任一点，过P作 轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点M的轨迹方程是
4．在 中，已知 ，且 成等差数列，则C点轨迹方程为
三．例题探究
例1．设动直线 垂直于 轴，且与椭圆 交于 两点，P是 上满足 的点，求点P的轨迹方程。
例2．如图，在 中， 平方单位，动点P在曲线E 上运动，若曲线E过点C且满足 的值为常数。
（1）求曲线E的方程；
（2）设直线 的斜率为1，若直线 与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M的轨迹方程。
例3．如图所示，过椭圆E： 上任一点P，作右准线 的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使HQ=
（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；
（2）当 取何值时，轨迹G是焦点在平行于 轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆 上，并写出椭圆的方程；
（3）当 取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆 的右准线 的位置关系。
例4．设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 点N的坐标为 ，当 绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2） 的最小值与最大值。
四．方法点拨
例1用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标 的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系――设点――列式――代换――化简――检验。
例2用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量 ，并用 表示动点P的坐标 ，从而得到动点轨迹的参数方程 ，消去参数 ，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由 的范围确定出 范围。
冲刺强化训练（15）
1.若点M（x,y）满足 ，则点M的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D抛物线.
2.点M为抛物线 上的一个动点，连结原点O与动点M，以OM为边作一个正方形MNPO，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
3.方程 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.一动圆M与两定圆 均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
5.抛物线 关于直线 对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
６.椭圆Ｃ与椭圆 关于直线 对称，椭圆Ｃ的方程是（ ）
A. B.
C. D.
７.下列四个命题：
⑴圆 关于点A(1，2)对称的曲线方程是 ；
⑵以点（2，－3）和点（2，1）为焦点的椭圆方程可以是 ；
⑶顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点(?4，?3)的抛物线方程只能是 ；
⑷双曲线 右支上一点P到左准线的距离为18，则P点到右焦点的距离为 ；
以上正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿.（将正确命题的序号都填上）
８.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件①焦点在 轴上；②焦点在 轴上；③抛物线上横坐标为１的点到焦点的距离为６；④抛物线的通径长为５；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）。能使这抛物线的方程是 的条件是 （要求填写合适条件的序号）
９.求经过定点 ， 以 轴为准线，离心率为 的椭圆下方的顶点的轨迹方程。
10.设曲线C： 和直线 .
⑴记 与C的两个交点为A、B，求线段AB中点的轨迹方程；
⑵若线段AB上的点Q满足 ，求点Q的轨迹方程；
⑶在点Q的轨迹上是否存在点Q0，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分？证明你的结论.
参考答案
【课前热身】
1． （提示：设动点 ，则 。）；
2． ； 3． （提示：设 ，则 将 代入双曲线方程得 。）； 4． （提示： 到AB的距离之和为8。）
【例题探究】
例1．解析设P点的坐标为 ，则由方程 得 ， A、B两点的坐标分别为 又
即 ，又直线 与椭圆交于两点，所以 所以点P的轨迹方程为 。
例2．解析（1） ， 又 ，从而 ，所以
点在以A、B为焦点，长半轴 ，半焦距 ，短半轴 的椭圆 上， 曲线E的方程为
（2）设直线 ，代入E的方程，消 ，
可得
所以有 解之得 设 的中点为 两点的坐标分别为 ，
，将 得 所以 即为M点的轨迹方程。
例3．解析（1）由 右准线 设
则由 ，得
且 ， = ，故有 ，即 为所求点 的轨迹G的方程。
（2）当 ，即 时，轨迹G是焦点在平行于 轴的直线上的椭圆，设其焦点 ,则 消去 得
（3）当 ，即 时，轨迹G为圆，其方程为： 即 又 的右准线 即
圆心G到准线 的距离为 此时G与 相交。
例4．解析：（1）直线 过点 ，当斜率存在时，设其斜率为 ，则 的方程为 记 由题设可得点A、B的坐标 是方程组 的解，消去 得 于是 ，设点P的坐标为 ，则 消去参数 得 ①当 不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程①，所以点P的轨迹方程为 。
（3）由点P的轨迹方程知 即
又 故
当 时， 取得最小值为 ；
当 时， 取得最大值为 。
[冲刺强化训练15]
1、 ； 2、 ； 3、 ；
4、 解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支.
5、 ； ６、Ａ注意焦点所在位置的变化。
7、②④； 8、②⑤
9、解：(1) (2)直线m恰为准线，定值即为离心率e.
(3) 当|PA|=|PB|时，|PA|•|PB|最大。此时点P的坐标为
10、略解：（1）设AB中点M ，联立方程组得： ，则 ，消云k得 ，注意到△＞0，∴ ，得
∴AB中点的轨迹方程是 .
（2）点Q的轨迹方程是 ，是一条线段（无端点）.
（3）曲线C的焦点F ，设过F的直线方程为 ，与曲线C的方程联立，得弦的中点的横坐标为 ,解得 .
①当 时，弦的中点的纵坐标 ；②当 时，弦的中点的纵坐标 .综上，存在点 ，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分.