第九编 解析几何
§9.1直线的倾斜角与斜率
1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为 ,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为 +45°，则 的范围为 .
答案 0°＜ ＜135°
2.（2008•全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 .
答案 45°
3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 .
答案 1
4.已知直线l的倾斜角为 ，且0°≤ ＜135°，则直线l的斜率取值范围是 .
答案 （-∞,-1）∪［0，+∞）
5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为- 的直线垂直，则实数a的值为 .
答案 -
例1 若 ∈ ，则直线2xcos +3y+1=0的倾斜角的取值范围是 .
答案
例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
（1）试判断l1与l2是否平行；
（2）l1⊥l2时，求a的值.
解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,
l2:x=0,l1不平行于l2;
当a=0时，l1:y=-3,
l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;2分
当a≠1且a≠0时，两直线可化为
l1:y=- -3,l2:y= -(a+1),
l1∥l2 ，解得a=-1, 5分
综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 6分
方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，
由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0, 2分
∴l1∥l2 4分
a=-1, 5分
故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.6分
（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,
l1与l2不垂直，故a=1不成立.8分
当a≠1时，l1:y=- x-3,
l2:y= -(a+1),12分
由 • =-1 a= .14分
方法二 由A1A2+B1B2=0，
得a+2(a-1)=0 a= .14分
例3 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).
试求： 的最大值与最小值.
解 由 的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,
如图可知：kPA≤k≤kPB,
由已知可得：A（1，1），B（-1，5），
∴ ≤k≤8，
故 的最大值为8，最小值为 .
1.直线xcos + y+2=0的倾斜角的取值范围是 .
答案
2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2:
（1）相交？（2）平行？（3）垂直？
解 m=-5时，显然，l1与l2相交；
当m≠-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为
k1=- ，k2=- ，
它们在y轴上的截距分别为b1= ，b2= .
（1）由k1≠k2,得- ≠- ，
m≠-7且m≠-1.
∴当m≠-7且m≠-1时，l1与l2相交.
（2）由 ,得 ，m=-7.
∴当m=-7时，l1与l2平行.
（3）由k1k2=-1,
得- • =-1，m=- .
∴当m=- 时，l1与l2垂直.
3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值为 .
答案
一、填空题
1.直线xcos +y-1=0 ( ∈R)的倾斜角的范围是 .
答案
2.（2009•姜堰中学高三综合练习）设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为 ,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为 ,且 = +90°,则m的值为 .
答案 -2
3.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .
答案
4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为 .
答案 -2
5.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是 .
答案 -
6.（2008•浙江理，11）已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a= .
答案 1+
7.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .
答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）
8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 .
答案
二、解答题
9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.
解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.
kAP= =-2，kAQ= = ，
则- ≥ 或- ≤-2，
∴- ≤m≤ 且m≠0.
又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，
∴所求m的取值范围是- ≤m≤ .
方法二 过P、Q两点的直线方程为
y-1= (x+1),即y= x+ ,
代入x+my+m=0,
整理，得x=- .
由已知-1≤- ≤2,
解得- ≤m≤ .
10.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得：
（1）l1与l2相交；（2）l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合.
解 （1）由已知1×3≠m(m-2),
即m2-2m-3≠0,
解得m≠-1且m≠3.
故当m≠-1且m≠3时，l1与l2相交.
（2）当1•（m-2）+m•3=0，即m= 时，l1⊥l2.
(3)当 = ≠ ,即m=-1时，l1∥l2.
（4）当 = = ，
即m=3时，l1与l2重合.
11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.
解 设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，
∴kAB•kBC=0≠-1，
即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.
①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.
又kAD=kBC，∴ =0，即y=3.
此时AB与CD不平行.
故所求点D的坐标为（3，3）.
②若AD是直角梯形的直角边，
则AD⊥AB，AD⊥CD，
kAD= ，kCD= .
由于AD⊥AB，∴ •3=-1.
又AB∥CD，∴ =3.
解上述两式可得
此时AD与BC不平行.
故所求点D的坐标为 ,
综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或 .
12.已知两点A（-1，2），B（m，3）.
（1）求直线AB的方程；
（2）已知实数m∈ ，求直线AB的倾斜角 的取值范围.
解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,
当m≠-1时，直线AB的方程为y-2= (x+1).
（2）①当m=-1时， = ;
②当m≠-1时，m+1∈ ，
∴k= ∈（-∞，- ］∪ ，
∴ ∈ .
综合①②知，直线AB的倾斜角 ∈ .