第二编 函数与基本初等函数Ⅰ
§2.1 函数及其表示
基础自测
1. 与函数f(x)=|x|是相同函数的有 （写出一个你认为正确的即可）.
答案 y=
2.设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数
关系的是 .(填序号).
?
?
答案? ②③
3.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法正确的是 （填序号）.
①A中的每一个元素在集合B中都有对应元素? ②A中两个元素在B中的对应元素必定不同?
③B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同? ④B中的元素在A中可能没有对应元素?
答案 ①③④
4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y的对应关系，则能表示y是x的函数的图象是 （填序号）.
答案 ②③
5.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= .?
答案 (x≠0)
例1给出下列两个条件：（1）f( +1)=x+2 ;?
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.?
解 （1）令t= +1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).?
（2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,?则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.?
∴ ，?∴ ，又f(0)=3 c=3,∴f(x)=x2-x+3.?
例2（1）求函数f(x)= 的定义域；?
（2）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.?
解 （1）要使函数有意义，则只需要：?
?解得-3＜x＜0或2＜x＜3.?
故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).
(2)∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2.?
∴函数y=f(log2x)中 ≤log2x≤2.即log2 ≤log2x≤log24,∴ ≤x≤4.?
故函数f(log2x)的定义域为［ ，4］
例3（14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；?
（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？?
解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x) (万元)，
销售量为1 000×(1+0.6x)(辆).?
故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1 000×(1+0.6x), 5分?
整理得y=-60x2+20x+200 (0＜x＜1). 7分?
（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，?
则y-(1.2-1)×1 000＞0, 10分?
即-60x2+20x+200-200＞0,?
即3x2-x＜0. 12分?
解得0＜x＜ ，适合0＜x＜1.?
故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0＜x＜ . 13分?
答 （1）函数关系式为y=-60x2+20x+200 (0＜x＜1).?
（2）投入成本增加的比例x的范围是(0, ). 14分?
例4 已知函数f(x)=
（1）画出函数的图象；?
（2）求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.?
解 （1）分别作出f(x)在x＞0,x=0, x＜0段上
的图象，如图所示，作法略.?
（2）f(1)=12=1,?f(-1)=- =1,f［f（-1）］=f（1）=1.?
1.（1）已知f（ ）=lgx，求f（x）；?
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；?
（3）已知f（x）满足2f（x）+f（ ）=3x，求f（x）.?
解 (1)令 +1=t，则x= ，?
∴f（t）=lg ，∴f（x）=lg ,x∈(1,+∞).?
（2）设f（x）=ax+b，则?
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，?
∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.?
（3）2f（x）+f（ ）=3x， ①?
把①中的x换成 ，得2f（ ）+f（x）= ②?
①×2-②得3f（x）=6x- ，∴f（x）=2x- .
2. 求下列函数的定义域：?
（1）y= +(2x-3)0;?
(2)y=log(2x+1)(32-4x).?
解 （1）由
∴定义域为（-2，log23）∪(log23,3).?
(2) ∴定义域为（- ,0）∪（0, ）.
3.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.?
解 作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，?
依题意，则有AH= ，AG= a.?
（1）当M位于点H的左侧时,
N∈AB，?
由于AM=x，∠BAD=45°.?
∴MN=x.?
∴y=S△AMN= x2（0≤x≤ ）.?
（2）当M位于HG之间时，?
由于AM=x，?
∴MN= ，BN=x- .?
∴y=S直角梯形AMNB= ［x+（x- ）］= ax- ?
（3）当M位于点G的右侧时，?
由于AM=x，MN=MD=2a-x.?
∴y=S梯形ABCD-S△MDN
=
综上：y=
4.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象（如下图所示）大致是 (填序号).
答案?④?
?
一、填空题
1.设函数f1(x)=x ,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则 = .
答案
2.（2008•安徽文，13）函数f(x)= 的定义域为 .
答案
3.若f(x)= ,则f(-1)的值为 .
答案 3
4.已知f( ，则f(x)的解析式为 .
答案 f(x)=
5.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 .
答案 （- ，1）
6.(2008•陕西理，11)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)= .
答案 6
7.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出?
x123
f(x)131
x123
g(x)321
则f［g(1)］的值为 ，满足f［g(x)］＞g［f(x)］的x的值是 .
答案 1 2?
8.已知函数 (x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且 （ ）=16, (1)=8,则
(x)= .?
答案 3x+ ?
二、解答题
9.求函数f(x)= 的定义域.?
解 由
∴-1＜x＜0.?
∴函数f(x)= 的定义域为（-1,0）.
10．（1）设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);
（2）函数f(x) (x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).?
解 （1）依题意令a=b=x,则?
f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),?
即f(0)=f(x)-x2-x,?
而f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1.?
（2）以-x代x,依题意有?
2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ①?
又2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ②?
两式联立消去f(-x)得?
3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),?
∴f(x)= lg(1+x-x2-x3)(-1＜x＜1).
11.如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径,且上底
CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域.?
解 AB=2R，C、D在⊙o的半圆周上，?
设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，?
垂足为E，连接BD，?
那么∠ADB是直角，
由此Rt△ADE∽Rt△ABD.?
∴AD2=AE×AB，即AE= ，∴CD=AB-2AE=2R- ，?
所以y=2R+2x+（2R- ）,?即y=- +2x+4R.?
再由 ,解得0＜x＜ R.?所以y=- +2x+4R,定义域为（0， R）.
12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.?
（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？?
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？?
解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为 =12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)=（100- ×50.
整理得f(x)=- +162x-21 000=- (x-4 050)2+307 050.?
所以，当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050.
即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.