4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）
●知识梳理
1.化简要求
（1）能求出值的应求出值.
（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.
2.化简常用方法
（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.
（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.
3.常用技巧
（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.
（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.
（3）注意利用角与角之间的隐含关系.
（4）注意利用“1”的恒等变形.
●点击双基
1.满足cosαcosβ= +sinαsinβ的一组α、β的值是
A.α= ，β= B.α= ，β=
C.α= ，β= D.α= ，β=
解析：由已知得cos（α+β）= ，代入检验得A.
答案：A
2.已知tanα和tan（ －α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是
A.b=a+cB.2b=a+c
C.c=b+aD.c=ab
解析： ∴tan = =1.
∴－ =1－ .∴－b=a－c.∴c=a+b.
答案：C
3.f（x）= 的值域为
A.（－ －1，－1）∪（－1， －1）
B.［ ，－1）∪（－1， ］
C.（ ， ）
D.［ ， ］
解析：令t=sinx+cosx= sin（x+ ）∈［－ ，－1）∪（－1， ］，
则f（x）= = ∈［ ，－1）∪（－1， ］.
答案：B
4.已知cosα－cosβ= ，sinα－sinβ= ，则cos（α－β）=_______.
解析：（cosα－cosβ）2= ，（sinα－sinβ）2= .
两式相加，得2－2cos（α－β）= .∴cos（α－β）= .
答案：
●典例剖析
【例1】 求证： －2cos（α+β）= .
剖析：先转换命题，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.
证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα
=sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.
两边同除以sinα得
－2cos（α+β）= .
评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手――变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称――变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.
【例2】 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.
剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e= .
在△PF1F2中解此三角即可得证.
证明：在△PF1F2中，由正弦定理知
= = .
由比例的性质得 =
e= = =
=
= =2cosα－1.
评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.
深化拓展
求cot10°－4cos10°的值.
分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.
提示：cot10°－4cos10°
= －4cos10°=
= =
= = = .
答案： .
●闯关训练
夯实基础
1.（2003年高考新课程卷）已知x∈（－ ，0），cosx= ，则tan2x等于
A. B.－ C. D.－
解析：∵cosx= ，x∈（－ ，0），∴sinx=－ .∴tanx=－ .
∴tan2x= = =－ × =－ .
答案：D
2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是
A.tan ＜cot B.tan ＞cot
C.sin ＜cos D.sin ＞cos
解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，则tan －cot = － =－ ＞0.
∴tan ＞cot .
答案：B
3.下列四个命题中的假命题是
A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得
sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.
答案：B
4.函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______.
解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－ ）2+ .
∴sinx=1时，ymax=4.
答案：4
5.求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值.
解法一：a+b+ =L≥2 + .∴ ≤ .
∴S= ab≤ （ ）2= •［ ］2= L2.
解法二：设a=csinθ，b=ccosθ.
∵a+b+c=L，
∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c= .
∴S= c2sinθcosθ= .
设sinθ+cosθ=t∈（1， ］，
则S= • = • = （1－ ）≤ （1－ ）= L2.
6.（2004年湖南，17）已知sin（ +2α）•sin（ －2α）= ，α∈（ ， ），求2sin2α+tanα－cotα－1的值.
解：由sin（ +2α）•sin（ －2α）=sin（ +2α）•cos（ +2α）= sin（ +4α）= cos4α= ，得cos4α= .
又α∈（ ， ），所以α= .
于是2sin2α+tanα－cotα－1=－cos2α+ =－cos2α+
=－（cos2α+2cot2α）=－（cos +2cot ）
=－（－ －2 ）= .
培养能力
7.求证： = .
证明：左边= = = ，
右边= = ，
∵左边=右边，∴原式成立.
8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA= ，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.
分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.
解法一：∵sinA+cosA= cos（A－45°）= ，∴cos（A－45°）= .
又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.
∴tanA=tan（45°+60°）= =－2－ .
∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°= .
∴S△ABC= AC•ABsinA
= •2•3• = （ + ）.
解法二：∵sinA+cosA= ，①
∴（sinA+cosA）2= .∴2sinAcosA=－ .
∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.
∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA= ，
∴sinA－cosA= .②
①+②得sinA= .
①－②得cosA= .
∴tanA= = • =－2－ .
（以下同解法一）
探究创新
9.锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠ ，求tany的最大值.
解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，
siny（sinx+cscx）=cosxcosy.
∴tany= = = = ≤ = ，
当且仅当tanx= 时取等号.
∴tany的最大值为 .
●思悟小结
1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.
2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.
3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（ωx+ ）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.
●教师下载中心
教学点睛
1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.
2.有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.
3.注意方程思想的应用.
拓展题例
【例1】 试证： = .
证明：左边=
= = = =cot ，
右边= =
= =cot ，∴原等式成立.
【例2】 已知α、β∈（0， ），3sinβ=sin（2α+β），4tan =1－tan2 .求α+β的值.
解：∵4tan =1－tan2 ，∴2•tanα=1，tanα= .
∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.
∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.
∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β= .
评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.