专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第四讲 不等式
【最新考纲透析】
1．不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2．一元二次不等式
（1）会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
（2）了解二地一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
（3）会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
4．基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程。
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
【核心要点突破】
要点考向1：不等式的求解问题
考情聚焦：1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现。
2.常考查一元 二次不等及可转化为一元二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主，属中档题。
考向链接：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化为一般形式 ，再求相应一元二次方程 的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集。
2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式 （一般为一元二次不等式）求解。
3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。
例1：（2010•全国卷Ⅰ文科•Ｔ13）)不等式 的解集是 .
【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法
【思路点拨】首先将 因式分解，然后将 化为三个因式乘积的形式，
采用“序轴标根法”即穿根法求解集.
【规范解答】 ，
数轴标根得：
【答案】
要点考向2：不等式恒成立问题
考情聚集：1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点，在各 省市高考中占较大比重且点重要的位置。
2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题，多以解答题的形式出现，属中档偏上题目。
考向链接：求解不等式恒成立问题的常用思想方法：
1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。
2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。
3.数形结合 思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。
例2：已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的表达式；
(3)设 ,定义域为D，现给出一个数学运算程序：
若xn∈D,则运算继续下去；若xn D,则运算停止.给出 , 请你写出满足上述条件的
集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（满分13分）
解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,
∴f (1)=8.
(2)设f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得 b=4,a+c=4.
又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,对x∈R恒成立,
∴ ,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.
(3)由g(x)=
由题意x1= ,x2=g(x1)= ,x3=g(x2)=- ,x4=g(x3)=-1,x5无意义，故D={ , ,- ,-1}
要点考向3：线性规划问题
考情聚焦:1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能,是各省市高考的重点.
2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题，多以选择、填空题形式出现。
考向链接：1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.
2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.
例3: （2010•安徽高考文科•Ｔ8）设x,y满足约束条件 则目标函数z=x+y的最大值是（ ）
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8
【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。
【思路点拨】由约束条件画可行域 确定目标函数的 最大值点 计算目标函数的最大值
【规范解答】选C．约束条件 表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别是 ，目标函数 在 取最大值6，故C正确．
【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．
要点考向4：利用基本不等式求最值问题
考情聚焦:1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法,为近几年各省市高考的热点.
2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题，多以中档题形式出现.
例4: （2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
(2)设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)
当 时， ,
, =
（2）当 时，
由 ，故当 即 时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。
（3）由（2）知： =
由 得： ，
令 则 ，即： 。
同理，由 得：
另一方面，
当且仅当 ，即 = 时，取等号。由（1）知 = 时h甲=h乙
所以不能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立。
【高考真题探究】
1. （2010江西理数）3.不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. ，解得A。
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
2. （2010安徽文数）（8）设x,y满足约束条件 则目标函数z=x+y的最大值是
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8
8.C
【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是 ，目标函数 在 取最大值6。
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函 数即可求出最大值.
3. （2010安徽文数）(15)若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤
15.①，③，⑤
【解析】令 ，排除②②；由 ，命题①正确；
，命题③正确； ，命题⑤正确。
4 . （2010湖北理数）15.设a>0,b>0,称 为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。
【答案】CD DE
【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得 ，故 ，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC= 代入 可得 故 ，所以ED=OD-OE= ，故DE的长度为a,b的调和平均数.
6. （2010•上海高考理科•Ｔ22）若实数 、 、 满足 ，则称 比 远离 .
（1）若 比1远离0，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 远离 ；
（3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中远离0的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
【命题立意】本题主要考查解不等式，证明不等式等不等式的有关知识以及分段函数、三角函数的有关性质等问题．
【思路点拨】（1）根据题意列出不等式，解不等式；
（2）采用分析法证明不等式，注意去绝对值的方法和分析法的步骤；
（3）结合三角函数的图象观察函数性质．
【规范解答】（1）由题意知 ，即 ，所以 ，
解得 或 ，所以x的取值范围是 或 ．
（2）要证明 比 远离 ，
即证 ，
因为 ，故 ， ，
所以只需证明
即 ,化简得 显然成立，
所以 比 更远离 ．
（3）
性质：①偶函数 关于y轴对称;
②周期T ;
③在区间 上单调增，在区间 上单调减;
④最大值为1，最小值为
【方法技巧】①新概念问题要紧跟“新概念”不放
②函数图像与性质紧相连。
【跟踪模拟训练】
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）
1. 在平面直角坐标系中，若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
(A)-5(B)1(C)2(D)3
2.在R上定义运算a*b=a(1-b),则满足(x-2)*(x+2)>0的实数x的取值范围为( )
(A) （0，2）
(B)（-2，1）
(C)（-∞，-2）∪(1,+∞)
(D)（-1，2）
3. 在“家电下乡”活动中，某厂要将10 0台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
(A)2 000元(B)2 200元
(C)2 400元(D)2 800元
4. 某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料
1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过
13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
(A)12万元(B)20万元(C)25万元(D)27万元
5.若不等式［(1-a)n-a］lga<0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是( )
6.若关于x的不等式 至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）
7.定义在R上的单调递减函数 满足 ，且对于任意 ，不等式 恒成立，则当 时， 的取值范围为 。
8.不等式组 所表示的平面区域的面积等于 .
9.不等式 的解集是_____.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.若a∈［1,3］时,不等式ax2+(a-2)x-2>0恒成立，求实数x的取值范围.
11.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的,面积为200平方米的十字形地带.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价是每平方 米4 200元，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元.
(1)设总造价是S元，AD长为x米，
试建立S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求
出最小值.
12.已知函数 为奇函数， ，且不等式 的解集是 ．
（1）求证： ；
（2）求 的值；
（3）是否存在实数 使不等式 对一切 成立？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由
参考答案
1. 【解析】选D.根据定义：（x-2)*(x +2)=(x-2)•［1-(x+2)］=-(x-2)(x+1)>0,即(x-2)(x+1)<0.解得-1
3. 【解析】选B.设使用甲型货车x辆，乙型货车y辆， 求z=400x+300y的最小值，可求出最优解为(4,2),故zmin=2 200.
4. 【解析】选D.设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系
目标函数z=5x+3y.
作出可行域后求出可行 域边界上各端点的坐标，经验证知，当x=3,y=4时,zmax=27万元.
5. 【解析】选C.当0
又1-a>0，∴(1-a)n在［1,+∞)上为增函数，
∴［(1-a)n］min=1-a, ∴a<1-a,得0
a>(1-a)n对任意正整数n恒成立，又1-a<0,
∴(1-a)n在［1,+∞）上为减函数，
∴［（1-a）n］max=1-a,
∴有a>1-a,得a> ,
又a>1,∴a>1.
综上可知0
6. C
7.
8. 4
9.
10. 【解析】设f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当a∈［1,3］时f(a)>0恒成立.
得x>2或x<-1.
∴实数x的取值范围是x>2或x<-1.
11.
12.解答：（1） ， 是奇函数得
（2）
（3） 不存在
【备课资源】
1. （2009湖南高考）已知D是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为（ ）
A B C D
【解析】选B. 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是 ，所以圆心角 即为两直线的所成夹角，所以 ，所以 ，而圆的半径是2，所以弧长是 ，故选B。
3.（2009•江西高考）一个平面封闭区域上任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为( )
(A)τ1>τ 4>τ3(B)τ1>τ3>τ2
(C)τ4>τ2>τ3(D)τ3>τ4>τ1
【解析】选C.前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离之比，所以τ1= ,τ2=π、τ3=3,第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以τ4= ,则τ4>τ2>τ3>τ1.
4. （2009湖北高考）已知关于 的不等式 ＜0的解集是 .则 .
【解析】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于
由解集特点可得
答案：-2
5. （2009江西高考）若不等式 的解集为区间 ,且 ,则 ．
【解析】由数形结合，直线 在半圆 之上必须 ，则直线 过点（ ），则
答案：
6. （2009湖北高考）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则 =45x+180(x-2)+180•2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a= ,
所以y=225x+
(II)
.当且仅当225x= 时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.