学案36 基本不等式及其应用
导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
自主梳理
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥____(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．
(4)a＋b22____a2＋b22.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．
自我检测
1．“a>b>0”是“ab
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2011•南平月考)已知函数f(x)＝12x，a、b∈(0，＋∞)，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系是( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
3．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A．y＝x＋4x
B．y＝sin x＋4sin x(0
D．y＝log3x＋logx81
4．(2011•大连月考)设函数f(x)＝2x＋1x－1(x<0)，则f(x)有最________值为________．
5．(2010•山东)若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________________．
探究点一 利用基本不等式求最值
例1 (1)已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；
(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
变式迁移1 (2011•重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )
A.72 B．4
C.92 D．5
探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用
例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.
变式迁移2 已知x>0，y>0，z>0.
求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.
探究点三 基本不等式的实际应用
例3 (2011•镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)
变式迁移3 (2011•广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；a＋b2≥ab成立的条件是a，b∈R＋；ba＋ab≥2成立的条件是ab>0，即a，b同号．
2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．
3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋bx，当a>0，b<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a<0，b>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a>0，b>0时函数在－ba，0，0， ba上是减函数，在－∞，－ba，ba，＋∞上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y＝－－ax＋－bx来解决最值问题．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.14
2．(2011•鞍山月考)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22 C．4 D．5
4．一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要( )
A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h
5．(2011•宁波月考)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0x－y＋2≥0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by (a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为( )
A.256 B.83 C.113 D．4
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010•浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
7．(2011•江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知0
10．(12分)(2011•长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝920vv2＋3v＋1 600(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．
学案36 基本不等式及其应用
自主梳理
1．(1)a>0，b>0 (2)a＝b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤
3.a＋b2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x＝y 小 2p (2)x＝y 大 p24
自我检测
1．A 2.A 3.C
4．大 －22－1 5.[15，＋∞)
课堂活动区
例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．
解 (1)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1，
∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y
＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.
当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立，又1x＋9y＝1，
∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)∵x<54，∴5－4x>0.
y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3
≤－2 5－4x•15－4x＋3＝1，
当且仅当5－4x＝15－4x，
即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴2y＋8x＝1.
∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy
＝10＋24yx＋xy
≥10＋2×2× 4yx•xy＝18，
当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
变式迁移1 C [∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.
∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2)＝52＋(2ab＋b2a)≥52＋22ab•b2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝1a＋4b的最小值为92.]
例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．
在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．
证明 方法一 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.
同理1＋1b＝2＋ab.
所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)
＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.
所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．
方法二 (1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab
＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，
因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，
因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．
变式迁移2 证明 ∵x>0，y>0，z>0，
∴yx＋zx≥2yzx>0，
xy＋zy≥2xzy>0，
xz＋yz≥2xyz>0.
∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz
≥8yz•xz•xyxyz＝8.
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
所以(yx＋zx)(xy＋zy)(xz＋yz)≥8.
例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为：
由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．
解 (1)依题意得
y＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x
＝560＋48x＋10 800x (x≥10，x∈N*)．
(2)∵x>0，∴48x＋10 800x
≥248×10 800＝1 440，
当且仅当48x＝10 800x，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．
答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．
变式迁移3 解 (1)由题意可设3－x＝kt＋1，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－2t＋1.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝323－2t＋1＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为
150%323－2t＋1＋3＋12t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝－t2＋98t＋352t＋1 (t≥0)．
(2)y＝－t2＋98t＋352t＋1＝50－t＋12＋32t＋1
≤50－2t＋12×32t＋1＝50－216＝42(万元)，
当且仅当t＋12＝32t＋1，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．
课后练习区
1．B [因为3a•3b＝3，所以a＋b＝1，
1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab
≥2＋2ba•ab＝4，当且仅当ba＝ab即a＝b＝12时，“＝”成立．]
2．B [不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1≥9，
∴a≥2或a≤－4(舍去)．
∴正实数a的最小值为4.]
3．C [因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab
＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b且 1ab＝ab，
即a＝b＝1时，取“＝”号．]
4．B [第一列货车到达B市的时间为400a h，由于两列货车的间距不得小于a202 km，所以第17列货车到达时间为400a＋16•a202a＝400a＋16a400≥8，当且仅当400a＝16a400，即a＝100 km/h时成立，所以最快需要8 h．]
5．A
6．18
解析 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即(xy)2－22xy－6≥0，
∴(xy－32)•(xy＋2)≥0.
又∵xy>0，∴xy≥32，即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7．4
解析 过原点的直线与f(x)＝2x交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝kx，由y＝kx，y＝2x，得x＝2k，y＝2k或x＝－2k，y＝－2k，
∴P(2k，2k)，Q(－2k，－2k)或P(－2k，－2k)，Q(2k，2k)．
∴|PQ|＝2k＋2k2＋2k＋2k2
＝22k＋1k≥4.
8．(－∞，22－1)
解析 由f(x)>0得32x－(k＋1)•3x＋2>0，解得k＋1<3x＋23x，而3x＋23x≥22，∴k＋1<22，k<22－1.
9．解 (1)∵0
当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，“＝”成立．
∴当x＝23时，x(4－3x)的最大值为43.(6分)
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥22x4y＝22x＋2y＝223＝42.
(10分)
当且仅当2x＝4y，x＋2y＝3，即x＝32，y＝34时，“＝”成立．
∴当x＝32，y＝34时，2x＋4y的最小值为42.
(12分)
10．解 (1)y＝920vv2＋3v＋1 600＝920v＋1 600v＋3≤
9202v×1 600v＋3＝92083≈11.08.(4分)
当v＝1 600v，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分)
(2)据题意有920vv2＋3v＋1 600≥10，(8分)
化简得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
(12分)
11．解 (1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]
＝6x2－6x.(6分)
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594.(9分)
∴y≥2600x•6x＋594＝714，(12分)
当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元．(14分)