第三篇 导数及其应用
第1讲 导数的概念及运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014•深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________．
解析 ∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，
∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.
答案 y＝0
2．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.
答案 e
3．(2014•辽宁五校联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．
解析 由题意知y′＝3x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．
答案 (1,3)
4．(2014•烟台期末)设函数f(x)＝xsin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．
解析 函数f(x)的导函数为f′(x)＝(xsin x＋cos x)′＝xcos x，即k＝g(t)＝tcos t，则函数g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除①，③.当0＜t＜π2时，g(t)＞0，所以排除④，选②.
答案 ②
5．曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为________．
解析 y′＝cos2x＋sin2xsin x＋cos x2＝11＋sin 2x，
故所求切线斜率k＝ ＝12.
答案 12
6．(2013•广东卷)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析 y′＝2ax－1x，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝12.
答案 12
7．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
解析 由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
答案 －2
8．(2013•江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
解析 y′＝αxα－1，∴斜率k＝y′|x＝1＝α＝2－01－0＝2，∴α＝2.
答案 2
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ex•ln x；
(2)y＝xx2＋1x＋1x3；
(3)y＝x－sin x2cos x2；
(4)y＝(x＋1) 1x－1.
解 (1)y′＝(ex•ln x)′＝exln x＋ex•1x＝exln x＋1x.
(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.
(3)先使用三角公式进行化简，得
y＝x－sin x2cos x2＝x－12sin x，
∴y′＝x－12sin x′＝x′－12(sin x)′＝1－12cos x.
(4)先化简，y＝x•1x－x＋1x－1＝ ，
∴y′＝ n ＝－12x1＋1x.
10．(2014•南通二模)f(x)＝ax－1x，g(x)＝ln x，x＞0，a∈R是常数．
(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a，使l也是曲线y＝f(x)的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
解 (1)由题意知，g(1)＝0，又g′(x)＝1x，g′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x－1.
(2)设y＝f(x)在x＝x0处的切线为l，则有
ax0－1x0＝x0－1，a＋1x20＝1，解得x0＝2，a＝34，此时f(2)＝1，
即当a＝34时，l是曲线y＝f(x)在点Q(2,1)的切线．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014•盐城一模)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是0，π4，则点P横坐标的取值范围是________．
解析 设P(x0，y0)，倾斜角为α，y′＝2x＋2，则k＝tan α＝2x0＋2∈[0,1]，解得x0∈－1，－12.
答案 －1，－12
2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2 013(x)＝________.
解析 f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 013(x)f1(x)＝cos x.
答案 cos x
3．(2014•武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值为________．
解析 f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1，
∴x1•x2•…•x2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝12 013，则log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012
＝log2 013(x1x2…x2 012)＝－1.
答案 －1
二、解答题
4．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，
当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，
解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由f′(x)＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－(x0－3x0)＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0交点坐标为0，－6x0.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.