第一篇 集合与常用逻辑用语
第1讲 集合及其运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2013•安徽卷改编)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}．则(∁RA)∩B＝________.
解析 因为A＝{x|x＞－1}，则∁RA＝{x|x≤－1}，所以(∁RA)∩B＝{－2，－1}．
答案 {－2，－1}
2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则下列各式不正确的是________．
①M⊆N；②N⊆M；③M∩N＝{2,3}；④M∪N＝{1,4}．
解析 由已知得M∩N＝{2,3}，故选①②④.
答案 ①②④
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集个数有________．
解析 P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．
答案 4
4．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A与B的关系是________．
解析 集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则B A.
答案 B A
5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．
解析 阴影部分是A∩∁RB.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁RB＝{x|x≥1}，所以A∩∁RB＝{x|1≤x＜2}．
答案 {x|1≤x＜2}
6．(2013•湖南卷)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.
解析 由集合的运算，可得(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
答案 {6,8}
7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析 根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
答案 4
8．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．
解析 由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.
答案 －3
二、解答题
9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝
{－3}，求A∪B.
解 由A∩B＝{－3}知，－3∈B.
又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．
10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
(1)若B⊆A，求a的值；
(2)若A⊆B，求a的值．
解 (1)A＝{0，－4}，
①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得a＜－1；
②当B为单元素集时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；
③当B＝A时，由根与系数的关系得：
－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1.
综上可知：a≤－1或a＝1.
(2)若A⊆B，必有A＝B，由(1)知a＝1.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．
解析 当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；
当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．
答案 3
2．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
解析 A＝{x|－5
3．设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)•(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论：①|S|＝1且|T|＝0；②|S|＝1且|T|＝1，③|S|＝2且|T|＝2；④|S|＝2且|T|＝3，其中不可能成立的是________．
解析 取a＝0，b＝0，c＝0，则S＝{x|f(x)＝x3＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝1≠0}，|T|＝0.因此①可能成立．取a＝1，b＝0，c＝1，则S＝{x|f(x)＝(x＋1)(x2＋1)＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝(x＋1)(x2＋1)＝0}，|T|＝1，因此②可能成立．取a＝－1，b＝0，c＝－1，则S＝{x|f(x)＝(x－1)(x2－1)＝0}，|S|＝2，T＝{x|g(x)＝(－x＋1)•(－x2＋1)＝0}，|T|＝2.因此③可能成立．对于④，若|T|＝3，则Δ＝b2－4c＞0，从而导致f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)也有3解，因此|S|＝2且|T|＝3不可能成立．故④不可能成立．
答案 ④
二、解答题
4．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0＜x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.
解 因为集合A是函数y＝2x－1(0＜x≤1)的值域，所以A＝(－1,1]，B＝(a，a＋3)．
(1)A∩B＝A⇔A⊆B⇔a≤－1，a＋3＞1，
即－2＜a≤－1，故当A∩B＝A时，a的取值范围是(－2，－1]．
(2)当A∩B＝∅时，结合数轴知，a≥1或a＋3≤－1，即a≥1或a≤－4.
故当A∩B≠∅时，a的取值范围是(－4,1).