基本作图

教学目标

1.熟练运用尺规完成四种,并会写出已知、求作和作法.

2.培养学生准确的数学语言表达能力.

教学重点和难点

重点是掌握四种;难点是用准确精练的几何语言叙述作图过程.

教学过程设计

一、作图的预备知识

1.明确尺规作图和的含义.

教师应着重强调尺规作图与以前画图的区别,如解释以前角平分线,垂线、平行线的画法为什么不符合尺规作图的要求.

2.常用的作图语句的练习.

(1)如图1(a),平面上有三点A,B,C,按下列要求完成作图:

①过点A,点B作直线AB(简称“作直线AB”);

②作射线CA;

③延长BC到D,使 CD=BC;

④在线段BA上截取BH=BC;

⑤连结两点H,C(简称“连结HC”).

答案见图1(b).


(2)如图1(c),按下列要求完成作图:

①以点D为圆心,AD为半径作弧交DC于E;

②分别以点B,C为圆心,DC为半径作弧,两弧交于点F,G.

以上为七种基本语句.

二、思考并实现四种

1.作一个角等于已知角.

(1)教师带领学生分析标题,分清已知、求作,并用数学符号表示.注意“求作”中先写出作什么图形,再写出它所需满足的条件.

已知∠AOB(如图2(a)).求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.

(2)教师应启发学生思考作图的实现过程,注意以下几点:

①思路:利用全等三角形的判定方法来实现作图过程,将∠AOB放到△COD中(如图2(b)),利用“SAS”公理作出与△COD全等的△C'O'D',从而得

到∠A'O'B'=∠AOB(如图2(c)).


②为简化作图过程,便于操作,可取△COD为等腰三角形,即在∠AOB的两边上截取OC=OD.更进一步地,可改造成尺规作图的语言,引导学生用简练的作图语句准确描述作图的实施过程.

(3)按照课本作法作图并证明.证明时要注意作图的作法中提供的边的条件.

以下几种都可仿照此步骤处理.

2.平分已知角.

已知:∠AOB(如图3).


求作:∠AOB内部的射线OC,使∠AOC=∠COB.

(1)教师重点分析作法是怎样想出来的.

①借鉴Ⅰ的思路,画出符合条件的示意图,分析如何构造以∠AOC,

∠COB为元素的两个全等三角形.

答:用“SSS”构造△ODF与△OEF,其中OD=OE,F在OC上,DF=EF.

②分析如何用作图实现以上过程:

要使OD=OE,以O为圆心任意长为半径作弧即可;要确定∠AOB上一点F,使DF=EF,只要分别以D,E为圆心,特定长a为半径作弧,注意为保证两弧能有


(2)让学生整理思路,按课本作法作图并证明.

练习1 作平角∠AOB的平分线OC,并回答OC与直线AB有何关系?

练习2 如图4,已知:钝角∠MCN.


①求作∠MCN的平分线CF;

②在学生画出图4的基础上,求证ED⊥CF,CF平分DE.

3.经过一点作已知直线的垂线.

已知直线AB和一点C,求作AB的垂线,使它过点C.

注意以下几点:

(1)分析标题时,引导学生自发讨论已知点C与已知直线AB的位置关系(两种情况).

(2)对于点C在直线AB上的情况,引导学生将新问题化归为已知情况――过直线AB上一点C平分平角∠ACB.

(3)当点C不在直线AB上时,引导学生由练习2的作法和证明结论来提炼出本题的作图方法:先确定D,E两点(注意书上选取K点的作用),再确定F点(找F时所作弧的半径有特定条件).

4.作线段的垂直平分线.

重点分析4与练习2的关系.

分析图4中的结论:CF垂直平分DE,要作DE的垂直平分线CF,只需确


三、四种的变式和复合练习


例1 用尺规按下列要求作图.(不写作法只画图)

(1)如图5,在∠AOD的内部作射线OB,使∠AOB=∠COD.

(2)作一个角的余角.

(3)把线段AB四等分.

(4)如图6,在钝角△ABC中,∠ABC为钝角.求作:

①△ABC中∠ACB的平分线CD;

②△ABC中BC边上的高AH;

③AC边的中垂线EF;

④AB边上的中线CG.

(5)如图7,已知直线AB和AB外一点C.求作:过C的直线CD‖AB.(提示:过C作直线l交AB于点E,在点C处作∠CEB的同位角(或内错角),使它等

于∠CEB.)

四、师生共同小结

1.目前已学过的五种;

2.几种常用的作图语句;

3.尺规作图的基本步骤;

4.以后作图中再遇到五种时,不必再重复作图的详细过程,只需给出标题,如作线段的垂直平分线”.

五、作业(略)

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

1.为了分散难点,便于学生用语言准确叙述本节课的,教师设计了预备知识这一部分,目的是让学生熟悉所要用到的常用作图语句,以及让学生自己分析思考如何用这些语句来解决本节的.

2.的分析过程要教给学生分析的方法,逐层实现目的,并要揭示四个分别“怎样想出来”和“为什么这样想”的思维过程,变学生“被动接受”为“主动探索发现”,更好地理解和掌握四种.

3.教师根据课时情况,可将第三部分的的部分练习题(如例1(1),(4)①)插到1,2后.

4.本课在2后面设计了两个练习,目的是既巩固2的各种变式情况下的作图,又为3,4启发思路.实质上,作角平分线与作垂线和中垂线的方法相类似.