第23课时 平均数及其估计
【学习导航】
学习要求
1．知道平均数是对调查数据的一种简明的描述，它表示变量一切可能值的算术平均值，从而实现对总体可靠度的估计，学习时仔细体会它的实际意义。
2．熟练掌握平均数的计算公式。
【课堂互动】
自学评价
案例 某校高一（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同的条件下进行测试，得到下列实验数据（单位：m/s2）:
9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32
9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94
9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90
怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？
【分析】
我们常用算术平均数 （其中 ( =1，2，…，n) 为n个实验数据）作为重力加速度的“最理想”的近似值．它的依据是什么？
处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小．
设这个近似值为 ，那么它与n个实验值 ( =1，2，…，n)的离差分别为 ， ，…， ．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究| |+| |+…+| |取最小值时 的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即( )2+( )2+…+( )2，当此和最小时，对应的 的值作为近似值，因为
( )2+( )2+…+( )2 =
，
所以当 时离差的平方和最小，故可用 作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这n个数据 ， ，…， 的平均数或均值，一般记为 ．
用计算器操作，验证：求得重力加速度的最佳近似值为 m/s2．
【小结】
1． 个实数 的和简记为
2.已知 个实数 ，则称 为这 个数据的平均数(average)或均值(mean)
3.若取值为 的频率分别为 ，则其平均数为
【精典范例】
例1 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些。
甲班
1128610684100
87112949499
10810096115111
10410711910793
92102938494
1059810294107
901209895119
10495108111105
1029811211299
941009084114
乙班
1169510996106
9498105101115
10810011098107
10710611112197
107111114106104
9810899110103
10411210111396
8710810610397
107114122101107
10495111111110
【分析】我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可。
【解】用科学计算器分别求得甲班的平均分为101.1，乙班的平均分为105.4 ，故这次考试乙班成绩要好于甲班。
例2 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h），试估计该学生的日平均睡眠时间。
睡眠时间人 数频 率
50.05
170.17
330.33
370.37
60.06
20.02
1001
【分析】要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间，由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示。
【解】解法1 总睡眠时间约为
故平均睡眠时间约为7.39h
解法2 求组中值与对应频率之积的和
答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h
例3 某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入。
【分析】上述比就是各组的频率
【解】：估计该单位职工的平均年收入为
＝26125（元）
答：估计该单位人均年收入约为2125元。
例4学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩如下表：
工作态度教学成绩业务学习
王老师989596
张老师909998
(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？
(2)如果三项成绩的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成绩，结果又会如何？
【解】 (1)王老师的平均分是 ．张老师的均分是： ．王老师的平均分较高，评王老师为优秀．
(2)王老师的平均分是
，
张老师的平均分为
．
张老师的得分高，评张老师为优秀．
追踪训练
1．期中考试之后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么 为( )
A． B．1 C． D．2
2．从某校全体高考考生的数学成绩中任意抽取20名考生的成绩（单位：分，总分：150分）为102,105,131,95,83,121,140,100,97,96,
95,121,124,135,106,109,110,101,98,97，试估计该校全体考生数学平均成绩。
解：
样本的平均数为108.3
估计该校全体考生数学平均成绩为108分
3．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%，50%，10%，10%。
（1）若全班共10人，则平均分是多少？
（2）若全班共20人，则平均分是多少？
（3）如果该班人数未知，能求出该班的平均分吗？
解：(1) =2
(2) =2
(3)可以
第8课时平均数及其估计
分层训练
1．某运动员参加体操比赛，当评委亮分后，其成绩往往是先去掉一个最高分、去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为
( )
(A)减少计算量 (B)避免故障
(C)剔除异常值 (D)活跃赛场气氛
2．某房间中10个人平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11人进入房间后，求11个人的平均身高。
3．如上题，某房间中10个人平均身高为1.74米，求第11人身高为多少时，使得房间中所有11人的平均身高达到1.78米。
4．从1,2，3,4，5,6这6个数中任取2个，求所有这样的两数之积的平均数。
5．用甲、乙两台半自动车床加工同一型号的产品，各生产1000只产品中次品数分别用x和y表示。经过一段时间的观察，发现x和y的频率分布如下表，问：哪一台车床生产的产品质量较好？
x0123
p0.70.10.10.1
y0123
p0.50.30.20
6．某工厂一个月(30天)中的日产值如下：
日产值(万元)5.15.25.35.45.55.65.7
天数2368731
试计算该厂这个月的平均日产值。
7．证明： ．
8．为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌个数/升01234
频 数17201021
则所取50升水中平均含有大肠杆菌_____个/升
估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为_______个。
拓展延伸
9．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下 ：
起始月薪(百元)
频 数7112623
起始月薪(百元)
频 数15846
估计这100名毕业生起始月薪的平均值
10．个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表：
李
某大
厨二
厨采购员杂
工服务生会
计
3000450350400320320410
(1)计算所有人员8月份的平均工资
(2)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？
(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？