§6.4匀速圆周运动
【学习目标】
（1）理解并记住描述圆周 运动的物理量。
（2）学会解匀速圆周运动的运动学问题。
（3）掌握解圆周运动动力学问题的一般方法。
【自主学习】
一、匀速圆周运动的特点：
1、轨迹：
2、速度：
二、描述圆周运动的物理量：
1、线速度
（1）物理意义：描述质点
(2)方向:
(3)大小:
2、角速度
(1)物理意义:描述质点
(2)大小：
（3）单位：
3、周期和频率
（1）定义：做圆周运动的物体 叫周期。
做圆周运动的物体 叫频率。
（2）周期与频率的关系：
（3）频率与转速的关系：
4、向心加速度
（1）物理意义：描述
（2）大小：
（3）方向：
（4）作用：
5、向心力
（1）作用：
（2）
（3）大小：
（4）方向：
★特别思考
（1）向心力、向心加速度公式对变速圆周运动使用吗？
（2）向心力对物体做功吗？
三、圆周运动及向心力
1、匀速圆周运动：
（1）性质：
（2）加速度：
（3）向心力：
（4）质点做匀速圆周运动的条件：
（a）
(b)
2、非匀速圆周运动：
（1）性质：
（2）加速度：
（3）向心力：
3、向心力
四、离心运动：
1、定义：
2、本质：
3、特别注意：
（1）离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
（2）离心运动并不是受到什么离心力作用的结果，根本就没什么离心力，因为没什么物体提供这种力。
【典型例题】
一、匀速圆周运动的运动学问题：
例1、如图―1所示,传动轮A、B、C的半径之比为2：1：2，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即ωa:ωb:ωc:ωd= 线速度之比,即va:vb:vc:vc= ;向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad= .
（小结）本题考察得什么：
例2、如图―2，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、
B的周期分别为T1、T2，且T1
（小结）解该题需要注意什么：
二、圆周运动的动力学问题：
例3、如图5―6―5所示，线段OA＝2AB，A、B两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB与TOA之比为多少?
提示：通过本题总结解题步骤：
（1）明确 ，确定它在那个平面内作圆周运动。
（2）对研究对象进行 ，确定是那些力提供了 。
（3）建立以 为正方向的坐标，根据向心力公式列方程。
（4）解方程，对结果进行必要的讨论。
例4、如图，长为L的细绳一端固定，另一端连接一质量为m的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受到的绳的拉力大小。
（小结）该题的易错点表现在：
【针对训练】
1．―个物体以角速度ω做匀速圆周运动时．下列说法中正确的是：（ ）
A．轨道半径越大线速度越大 B．轨道半径越大线速度越小
C．轨道半径越大周期越大 D．轨道半径越大周期越小
2．下列说法正确的是：（ ）
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改变线速度大小
3．如图5-16所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则
A的受力情况是：（ ）
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、向心力、摩擦力
D．以上均不正确
图5-16
4．一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则：（ ）
A．绳的拉力突然变小 B．绳的拉力突然变大
C．绳的拉力没有变化 D．无法判断拉力有何变化
5、如图―3所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B 、C分别是三个轮边缘的质点，且RA=RC=2RB，则三质点的向心加速度之比aA：aB：aC等于（ ）
A．4：2：1 B．2：1：2 C．1：2：4 D．4：1：4
6．质量为m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受的张力之差是：（ ）
A、6mg B、5mg
C、2mg D、条件不充分，不能确定。
7．两个质量分别是m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图5-18所示，求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力．
【能力训练】
1．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1
2、如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则：（ ）
①a点和b点的线速度大小相等
②a点和b点的角速度大小相等
③a点和c点的线速度大小相等
④a点和d点的向心加速度大小相等
A.①③ B. ②③ C. ③④ D.②④
3、如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平布做匀速圆周运动，以下说法正确的是：（ ）
A. VA>VB B. ωA>ωB C. aA>aB D.压力NA>NB
4、半径为R的光滑半圆柱固定在水平地面上，顶部有一小物块，如图所示，今给小物块一个初速度 ，则物体将：（ ）
A. 沿圆面A、B、C运动
B. 先沿圆面AB运动，然后在空中作抛物体线运动
C. 立即离开圆柱表面做平抛运动
D. 立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动
5、如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时：（ ）
①小球的瞬时速度突然变大
②小球的加速度突然变大
③小球的所受的向心力突然变大
④悬线所受的拉力突然变大
A. ①③④ B. ②③④
C. ①②④ D.①②③
6、如图所示，汽车以速度V通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的说法正确的是（ ）
A. 汽车受重力、支持力、向心力
B. 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力
C. 汽车的向心力是重力
D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力
7．在光滑的水平面上相距40 cm的两个钉子A和B，如图5-21所示，长1 m的细绳一端系着质量为0.4 kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2 m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4 N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是：（ ）
图5-21
A．0.9π s B．0.8π s C．1.2π s D．1.6π s
8．如图所示，质量m=0.1kg的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为r=0.2m的圆周运动，已知小球在最高点的速率为v1=2m/s，g取10m/s2，试求：
（1）小球在最高点时的细绳的拉力T1=？
（2）小球在最低点时的细绳的拉力T2=？
9．(6分)如图5-14所示，半径为R的圆板置于水平面内，在轴心O点的正上方高h处，水平抛出一个小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与抛球初速度方向平行时，小球开始抛出，要使小球和圆板只碰一次，且落点为B，求：(1)小球初速度的大小．
(2)圆板转动的角速度。
图5-14
10、长为L=0.4m的轻质细杆一端固定在O点，在竖直平面内作匀速圆周运动，角速度为ω=6rad/s，若杆的中心处和另一端各固定一个质量为m=0.2kg的小物体，则端点小物体在转到竖直位置的最高点时，（g取10m/s2）求:
(1)杆对端点小物体的作用力的大小和方向；
(2)杆对轴O的作用力的大小和方向。
【学后反思】
___________________________________________________________________________________________________________________ 。
参考答案
一 、例题
例一（1）ωb=ωc,ωa=ωb,因为v=ωR,va=vb 且ra=2rB,所以ωb=2ωa,由此得出:
因为ωa:ωb=1:2,ωb:ωc=1:1,ωa:ωd=1:1 ωa:ωb:ωc:ωd=1:2:2:1
(2)va=vb,而va=2vd,vc=2vb,所以va:vb:vc:vd=2:2:4:1
(3) aa:ab:ac:ad =2:4:8:1
或者按aa:ab:ac:ad=ωa2ra:ωb2rb:ωc2rc:ωd2rd=2:4:8:1.
例2、t=nT1T2/(T2-T1)
例3、5／3 例4
二、针对训练
1、答案：A
2、答案：C
解析：匀速圆周运动中，速度和加速度方向时刻在变，故A、B错，C对；物体只有做匀速圆周运动时，其合力才垂直于速度，不改变线速度大小，D错．故C选项正确．
3．答案:B
解析：物体A在水平台上，受重力G竖直向下，支持力FN竖直向上，且两力是一对平衡力，至于物体A是否受摩擦力，方向如何，由运动状态分析才知道，由于A随圆盘做圆周运动，所以必须受到向心力作用，G与FN不能提供向心力，只有A受摩擦力F′且指向圆心充当向心力，才能使物体有向心力而做匀速圆周运动．故B正确．
4．答案:B
解析：车厢突然制动时，重球由于惯性，继续向前运动，而悬线欲使它改变运动方向则沿圆弧运动，所以拉力变大，即B正确．
5、答案:A
6．答案:A
7．解析：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意
R1＋R2＝L，R2＝L-R1
对m1：F＝m1ω2R1
对m2：F＝m2ω2R2＝m2ω2(L-R1)
所以m1ω2R1＝m2ω2(L-R1)
即得：R1＝
R2＝L-R1＝
F＝m1ω2•
＝
答案： ； ；F＝
三、能力训练
1、D 2、C 3、A 4、C 5、B 6、D
7、答案：B
解析：当小球绕A以1 m的半径转半圈的过程中，拉力是
F1＝m ＝0.4× ＝1.6 N，绳不断
当小球继续绕B以(1－0.4)＝0.6 m的半径转半圈的过程中，拉力为
F2＝m ＝0.4× ＝2.67 N，绳不断
当小球再碰到钉子A，将以半径
(0.6－0.4)＝0.2 m做圆周运动，
拉力F3＝m ＝0.4× ＝8 N．绳断
所以在绳断之间小球转过两个半圈，时间分别为
t1＝ ＝0.5π s
t2＝ ＝0.3π s
所以断开前总时间是
t＝t1＋t2＝(0.5π＋0.3π)s＝0.8π s
8．（1）T?3N （2）T?7N
9．解析：(1)小球做平抛运动在竖直方向
h＝ gt2
t＝
在水平方向：
s＝v1t＝v0 ＝R
所以v0＝R
(2)因为t＝nT＝n
即 ＝n
所以ω＝2πn
(n＝1，2，…)
答案：(1)R (2)2πn (n＝1，2，…)
10、简解：（1）mg+TA=mω2 L
TA= mω2 L-mg=0.88N 方向向下
（2）mg+ TB -TA=mω2 L/2
TB = TA +mω2 L/2-mg=0.32N 方向向下
轴O受力方向向上，大小也为0.32N